Download Transformation de Legendre en théorie des espèces PDF

TitleTransformation de Legendre en théorie des espèces
LanguageEnglish
File Size2.3 MB
Total Pages108
Document Text Contents
Page 1

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTR.ÉAL


TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THÉORIE DES


ESPÈCES


MÉMOIRE


PRÉSENTÉ


COMME EXIGENCE PARTIELLE


DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES


PAR


WALID MATHLOUTHI


JANVIER 2007

Page 2

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL�
Service des bibliothèques�

A verfissement

La diffusion de ce mémoire se fait dans le respect des droits de son auteur, qui a signé
le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles
supérieurs (SDU-522 - Rév.01-2006). Cette autorisation stipule que «conformément à
l'article 11 du Règlement no 8 des études de cycles supérieurs, [l'auteur] concède à
l'Université du Québec à Montréal une licence non exclusive d'utilisation et de
publication .de la totalité ou d'une partie importante de [son] travail de recherche pour
des fins pédagogiques et non commerciales. Plus précisément, [l'auteur] autorise
l'Université du Québec à Montréal à reproduire, diffuser, prêter, distribuer ou vendre des
copies de [son] travail de recherche à des fins non commerciales sur quelque support
que ce soit, y compris l'Internet. Cette licence et cette autorisation n'entraînent pas une
renonciation de [la] part [de l'auteur] à [ses] droits moraux ni à [ses] droits de propriété
intellectuelle. Sauf entente contraire, [l'auteur] conserve la liberté de diffuser et de
commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire.»

Page 54

42

entraîne que

U -kTln(Zgr(V,T,z))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(V,T,z))) kT8In(Zgr(V,T,z))
n gr , , z + 8T + J1- 8J1­

kT28ln (Zgr (V, T, z)) kT 8ln (Zgr (V, T, z))

8T + J1- 8J1- .


Ainsi, la fonction énergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(V,T,z)) kT 8In(Zgr(V,T,z)) _T 8 (kTln( Zgr(V,T,z)))
8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~,T, z)) _ kTln (Zgr (V, T, z)).

La fonction enthalpie est donnée par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V, T, z)) kT28In(Zgr(V,T,z)) kT 8In(Zg,.(V,T,z))
8V + 8T + J1- 8J1- .

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V, T, z)) kT 8In(Zgr(V,T,z)) _T 8 (kTln( Zgr(V,T,z)))
Tk 8T + J1- 8J1- 8T
VkT8 ln (Zgr (V, T, z))

+ 8V


kTJ1- 8ln (Zg~~V,T, z)) + VkT 8ln (Zg~~, T, z)) _ kTln (Zgr (V, T, z)).

Page 55

CHAPITRE III

THÉORIE DES ESPÈCES ET GRAPHES IRRÉDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous présentons les notions de théorie des espèces qui nous seront

utiles pour l'application de la transformation de Legendre. Nous définissons les concepts

d'espèce et de série formelles associées. On donne ensuite le théorème de dissymétrie

pour les arbres et pour les graphes. Ensuite on définit des classes de graphes particu­

liers, comme les graphes connexes, inséparables (2-connexes) et irréductibles (2-arêtes

connexes), ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espèces entre elles.

Notons qu'à moins d'avis contraire, la plupart des résultats énoncés dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron, Labelle et Leroux, 94).

3.1 Graphes simples, graphes connexes

Définition 3.1

Un graphe simple 9 est formé de deux ensembles: un ensemble fini non-vide U, appelé

l'ensemble des sommets de g, et un ensemble A de paires de sommets, appelé l'ensemble

des arêtes de g. On a donc A ç P2 (U). On écrit souvent 9 = (U, A) = (U (g), A (g)).

Soit 9 = (U, A) un graphe simple et x E U un sommet. Le degré de x, dénoté d (x), est

le nombre d'arêtes de 9 incidentes à x, soit

d(x) = I{a E A tel que xE a}1 = I{y EU tel que {x,y} E A}I·

Lorsque d (x) = 0, on dit que le sommet x est isolé.

Page 107

BIBLIOGRAPHIE

Arnold, V. 1. (1974). «Mathematical Methods of Classical Mechanics ». Graduate Texts
in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 462 pp.

Bergeron, F., Labelle, G. et Leroux, P. (1994). «Théorie des espéces et combinatoire des
structures arborescentes». Montréal: Publications du LaCIM, Vol. 19, 394 pp.

Berkovitz, 1. D. (2002). « Convexity and Optimization in Rn ». Pure and Applied Ma-
thematics, A Wiley Interscience Serie of Texts, Monographs, and Tracts, New
York, 268 PP.

Dorlas, T. C. (1999). «Statistical Mechanics Fundamentales and Model Solutions ».
Institute of Physics Publishing, Bristol and philadelphia, 273 pp.

Hanlon, Phil. (1981). «A Cycle Index Sum Inversion Theorem ». Journal of combinato-
rial theory, series A, 30, 284-269.

Hanlon, P. et Robinson, R. W. (1981). « Counting Bridgeless Graphs ». Journal of com-
binatorial theory, series B, 33, 276-305.

Hulin, M., Hulin, N. et Veyssié M. (1989). « Thermodynamique ». Dumod, Paris, 370
pp.

Joyal, André. (1981). «Une théorie combinatoire des séries formelles ». Advances in
Mathematics, 42, 1-82.

Labelle, Gilbert. (1986). « On Combinatorial Differential Equations». Journal of Ma-
thematical Analysis and Applications, 113,344-381.

Labelle, Jacques. (1981). «Théorie des Graphes». Montréal: Modulo Éditeur, 183 pp.

Leroux, Pierre. (2004). «Enumerative problems inspired by Mayer's theory of cluster
integrals ». The Electronic journal of combinatorics, vol.11 , R.32.

Leroux, Pierre. (2003). «Note on Legendre transform and line-irreducible graphs ».
Bertinoro : Séminaire Lotharingien de Combinatoire.

Leroux, Pierre. (1983). «Algèbre linéaire: une approche matricielle ». Montréal: Modulo
Éditeur, 500 pp.

Leroux, P. et Miloudi, B. (1992). «Généralisations de la formule d'Otter ». Annales des
Sciences Mathématiques du Québec, 16, 53-80.

Page 108

96

Ngô, C. Ngô, H. (1995). «Physique statistique à l'équilibre et hors d'équilibre ». Ma.c:;son,
Paris, 358 pp.

Robinson, Robert. W. (1970). « Enumeration of Non-Separable Graphs ». Journal of
combinatorial theory, series B, 9, 327-356.

Stauffer, D. et Stanley, H.E. (1989). « From Newton to Mandelbrot A Primer in Theo-
retical Physics ». Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 364 pp.

Vasiliev, A.N. (1998). « Functional Methods in Quantum Field Theory and Statistical
Physics ». Gordon and Breach Science Publishers, Canada, 312 pp.

Vauclair, Sylvie. (1993). « Éléments de physique statistique Hasard, organisation, évo-
lution ». InterEditions, Paris, 268 pp.

Similer Documents