Download TK2-Uvod SDOF PDF

TitleTK2-Uvod SDOF
File Size1.4 MB
Total Pages20
Document Text Contents
Page 1

Teorija konstrukcija 2 – Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo, dr Ratko Salatić 1

1. UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA

Dinamika konstrukcija (structural dynamics) – Izučava uticaj dinamičkog opterećenja na
konstrukcije.

Dinamičko opterećenje (dynamic load) – Opterećenje koje se odlikuje promenom intenziteta u
toku vremena (opterećenje je u funkciji vremena) i pri kojem se uticaj nastalih inercijalnih sila ne
može zanemariti.

Oblici dinamičkog opterećenja

 Dinamička sila
 periodična - ponavljaju se u jednakim vremenskim intervalima (a), odnosno ,
 oscilatorna - specijalan slučaj periodičnog opterećenja kada je srednja vrednost ovog

opterećenja jednaka nuli (b),
 udarna - naglo se nanose na konstrukciju i ostaju na njoj duže ili kraće vreme:

- naglo opterećenje (c),
- impulsno opterećenje (impuls (d), serija impulsa (e)),

 slučajna, stihijna (stohastička) - promena intenziteta kroz vreme je sasvim nepravilna (f),

 Temperaturna – Usled promene temperature nastaju inercijalne sile
 Pomeranje oslonaca – Dejstvo zemljotresa se prenosi na konstrukciju preko oslonaca (temelja).




Slika 1.1 − Vrste dinamičkog opterećenja




Specifičnost dinamičkog opterećenja
Pri dejstvu dinamičkog opterećenja uticaji u sistemu ne moraju biti direktno proporcionalni intenzitetu
opterećenja. Na primer, neka sistem ima sopstvenu kružnu frekvencu ω, i neka na taj sistem zasebno
deluju tri opterećenja , , :

∶ sin
: 2 sin
: 0.5 sin

Page 2

2 Teorija konstrukcija 2 – Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo, dr Ratko Salatić

Opterećenje izaziva dva puta veće uticaje nego opterećenje dok opterećenje može izazivati
i više puta veće uticaje od opterećenja (pojava rezonancije).

Može se konstatovati da na odgovor sistema pri dejstvu dinamičkog opterećenja značajnije utiču
frekventne karakteristike dinamičkog opterećenja nego intenzitet opterećenja.

U Dinamici konstrukcija generalno se rešavaju dva osnovna zadatka. Prvi zadatak je određivanje
dinamičkih karakteristika sistema (sopstvene frekvence ili perioda) i poređenje sa frekventnim
karakteristikama mogućeg dinamičkog opterećenja, kako bi se izbegla pojava rezonancije. Drugi
zadatak je određivanje uticaja u konstrukciji usled dinamičkog opterećenja zadatih karakteristika.
Matematička intrepretacija prvog zadatka u linearnoj dinamici se svodi na svojstven problem, a drugi
zadatak se svodi na nehomogen problem linearnih algebarskih jednačina.


1.1 Osnovni pojmovi i stavovi

 Inercija (inertia) – Inercija je svojstvo svih tela da se odupiru promeni kretanja. (Mirovanje se

takođe može smatrati specijalnim slučajem kretanja kada je brzina kretanja jednaka nuli). Različita
tela se različito, u većoj ili manjoj meri, opiru promeni stanja kretanja u kome se nalaze. Znači da
postoji mera za inerciju raznih tela.

 Masa (mass) – je fizička veličina koja predstavlja kvantitativnu meru za inerciju tela. Masa je jedno
od osnovnih svojstava tela.

 Količina kretanja – predstavlja proizvod mase i brzine tela.

 Sila (force) – je vektorska fizička veličina koja predstavlja meru za interakciju, odnosno uzajamno
dejstvo tela.

 I Newton-ov zakon (Newton's first law) – Svako telo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog
pravolinijskog kretanja sve dok dejstvom spoljnih sila nije prinuđeno da to stanje promeni.

 II Newton-ov zakon (Newton's law of motion) – Brzina promene količine kretanja jednaka je sili
koja dejstvuje i ima istu orijentaciju kao sila.



U klasičnoj fizici , pa sledi da je sila jednaka proizvodu mase i ubrzanja koje ta sila
izaziva:



 Zakon o održanju energije (Energy method) – Za jedan izolovan, konzervativan sistem ukupna
energija sistema je nepromenljiva u vremenu.

 D'Alambert-ov princip (D’Alambert’s priciple) – Dinamička ravnoteža sila može se posmatrati kao
statička, ako se dodaju odgovarajuće inercijalne sile.


Podela sistema prema rasporedu masa

 sistemi sa kontinualno raspoređenom masom (distributed mass) – Sistemi imaju
beskonačan broj stepeni slobode. Jednačine dinamičke ravnoteže su diferencijalne.

 sistemi sa diskretno raspoređenom masom (lumped mass) – Sistemi imaju konačan broj
stepeni slobode. Jednačine dinamičke ravnoteže su algebarske.

Page 10

10 Teorija konstrukcija 2 – Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo, dr Ratko Salatić



Slika 2.10 − Odgovor sistema – Aperiodično amortizovano kretanje

 Viskozno prigušenje (viscous damping) – Prigušenje proporcionalno brzini.

 Koeficijent viskoznog prigušenja – Brojno je jdnak sili prigušenja pri jediničnoj brzini.

 Koeficijent prigušenja – Definisan je izrazom:

 Relativno prigušenje (damping ratio) – Definisan je odnosom koeficijenta prigušenja i kružnom
frekvencom slobodnih neprigušenih oscilacija. Bezdimenzionalna veličina koja je mera prigušenja i
predstavlja karakteristiku dinamičkog sistema.



Vrednosti relativnog prigušenja zavise od vrste konstrukcije i nivoa opterećenja.


Nivo

naprezanja Vrsta konstrukcije

/2

Cevovodi i mašinska oprema 0.01 – 0.02
Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton, obostrano armiran
beton

0.02 – 0.03

Armirani beton sa dosta prslina 0.03 – 0.05
Čelične konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.05 – 0.07



Cevovodi i mašinska oprema 0.02 – 0.03
Zavarene konstrukcije, prethodno napregnuti beton obostrano armiran
beton

0.05 – 0.07

Armirani beton sa dosta prslina 0.07 – 0.10
Čelične konstrukcije sa viljcima i zakivcima, drvene konstrukcije 0.10 – 0.15
Drvene konstrukcije sa žljebovima 0.15 – 0.20

 Kritično prigušenje (critical damping) – Prigušenje koje je jednako kružnoj frekvenci slobodnih
neprigušenih oscilacija.

 Kružna frekvenca slobodnih prigušenih oscilacija (natural damped circular frequency) –
Brzina vršenja slobodnih prigušenih oscilacija.

1

 Period slobodnih prigušenih oscilacija – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri
slobodnom prigušenom oscilovanju.

2

1


 Sopstvena frekvenca prigušenih oscilacija – Broj punih oscilacija u jednoj sekundi.
1

1

Page 11

Teorija konstrukcija 2 – Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo, dr Ratko Salatić 11

2.3 Prinudne prigušene ocilacije

Kada spoljašnja sila deluje na sistem za vreme oscilatornog kretanja, takve oscilacije nazivaju se
prinudne oscilacije (forced vibrations). Pri prinudnim oscilacijama sistem teži da osciluje svojom
sopstvenom frekvencom, isto kao što teži da prati frekvencu prinudne sile. U prisustvu prigušenja
(trenja), deo kretanja sa sopstvenom frekvencom će nestati pod dejstvom sinusnog opterećenja. Kao
rezultat, sistem će oscilovati frekvencom prinudne sile, bez obzira na početne uslove i sopstvenu
frekvencu sistema. Tako dobijeno kretanje naziva se ustaljenim oscilacijama ili odgovor sistema.

Dinamička ravnoteža: sin

Diferencijalna jednačina: 2 sin 2

Partikularno rešenje se usvaja tako da bude sinhrono poremećajnoj sili, a pomoću faznog ugla φ
određuje se kašnjenje odgovora sistema na dejstvo poremećajne sile. Deo kretanja opisan opštim
integralom homogene diferencijalne jednačine brzo se amortizuje već posle nekoliko ciklusa oscilacija,
pa tako preostaje samo ustaljeno harmonijsko kretanje definisano partikularnim rešenjem.


Slika 2.11 − Prigušen sistem sa prinudnom silom

Elongacija: sin sin

Amplituda:




Fazni ugao: tan

 Dinamički faktor (magnification factor) – Odnos dinamičkog i statičkog pomeranja usled
dinamičke poremećajne sile.

1

1 4


 Rezonancija (resonance) – Poklapanje sopstvene i prinudne frekvence, pri kojem amplitude
progresivno rastu i ograničene su samo veličinom prigušenja.


Slika 2.12 − Dinamički factor

Page 19

Teorija konstrukcija 2 – Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo, dr Ratko Salatić 19

14. Prosto harmonijsko kretanje
15. Za šta se koristi Fourier-ova transformacija u dinamici konstrukcija?
16. Princip superpozicije u dinamici konstrukcija
17. Diferencijalna jednačina kretanja prigušenog sistema sa jednim stepenom slobode

a. Rešenje diferencijalne jednačine
b. Objasniti sve oznake u jednačini i rešenju jednačine
c. Nacrtati odgovor sistema slobodnih prigušenih oscilacija

18. Kojim sve veličinama je predstavljeno prigušenje sistema?
19. Viskozno prigušenje

a. Zašto je usvojeno viskozno prigušenje za opisivanje prigušenja građevinskih konstrukcija?
b. Da li viskozno prigušenje karakteristično za prigušenje građevinskih konstrukcija?

20. Relativno prigušenje
a. Opseg vrednosti relativnog prigušenja
b. Koja vrednost relativnog prigušenja se koristi za standardne građevinske konstrukcije?
c. Od kojih parametara zavisi veličina relativnog prigušenja?
d. Gde se ostvaruje najveće prigušenje u građevinskim konstrukcijama?

21. Odgovor sistema sa jednim stepenom slobode usled harmonijskog opterećenja
a. Analitički izraz
b. Grafički prikaz

22. Dinamički faktor
a. Dijagram dinamičkog faktora
b. Dinamički faktor je funkcija kojih veličina?
c. Kolika je vrednost dinamičkog faktora pri rezonanciji i relativnom prigušenju od 5%?
d. Primena dinamičkog faktora

23. Rezonancija
a. Šta znači amplitude progresivno rastu?
b. Šta znači amplitude su pri rezonanciji ograničene veličinom prigušenja?

24. Naglo opterećenje
a. Odgovor sistema usled naglog opterećenja (grafički i analitički)

25. Hevisajdova funkcija
a. Šta predstavlja Hevisajdova funkcija

26. Impulsno opterećenje
a. Impuls
b. Odgovor sistema usled impulsnog opterećenja (grafički i analitički)
c. Kratkotrajni impuls
d. Šta predstavlja funkcija g?

27. Dirac-ova (delta) funkcija
a. Šta predstavlja Dirac-ova (delta) funkcija

28. Spektar odgovora
a. Postupak određivanja spektra odgovora
b. Prednosti i nedostaci primene spektra odgovora
c. Da li se koristi spektar odgovora na sisteme sa više stepeni slobode?
d. Kako se koristiti spektar odgovora za sisteme sa više stepeni slobode?
e. Koji spektri odgovora se koriste u seizmičkoj analizi?

29. Šta je pseudoubrzanje?
a. Kako se primenjuje veličina pseudoubrzanja?
b. Kako se određuje spektar pseudoubrzanja?

30. Duhamel-ov integral
a. Metode rešavanja Duhamel-ovog integrala
b. Kada se primenjuje numerički postupak rešavanja Duhamel-ovog integrala?
c. Koji su uslovi za primenu Duhamel-ovog integrala?

Page 20

20 Teorija konstrukcija 2 – Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo, dr Ratko Salatić

Literatura
1. Ćorić B. i Salatić R., Dinamika građevinskih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd 2010.
2. Timoshenko S. and Young D.H., Teorija osilacija, Građevinska knjiga, Beograd 1966.
3. Brčić S., Dinamika diskretnih sistema, Studentski kulturni centar, Beograd 1998.

Similer Documents