Download Teorija_oscilacija Dusan Vukojevic i Elma ekinovic PDF

TitleTeorija_oscilacija Dusan Vukojevic i Elma ekinovic
File Size4.2 MB
Total Pages126
Document Text Contents
Page 1

Dr. Dusan Vukojevic
Mr. Elma Ekinovic

TEORIJA OSCILACIJA

Zenica, 2004.

Page 2

TEORiJA OSCILACI.JA
Dr. Dusan Vukojevic, redovni profesor Masinskog fakulteta u Zenici
Mr. Elma Ekinovic, visi asistent Masinskog fakulteta u Zenici

Rccenzcnti:
Prof.dr. RudolfKristic
Prof.dr,Bozidar Stjepovic

Izdavac
Masinski fakultet u Zenici, Univerzitet u Sarajevu

Za izdavaca
Prof.dr. Safet Brdarevi6

Naslovna strana
Mr. Elma Ekinovic

Tehnicka obrada:
Mr. Elma Ekinovi6
Marina Matanovic

Stampa
GRAFORAD, Zenica

Tiraz
300 primjeraka

elP ~ Katalogizacija u publikaciji
Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosue i Hercegovine,

Sarajevo

UDK 534.01(075.8)

VUKOJEVIC, Dusan

Teorija oscilacija I Dusan Vukojevic. -l.izd. -Zenica :
Masinski fakultet, 1997. -205 str.: graf.prikazi;

24 em

Bibliografija: 5tr.204-205.

Na sjednici br. 3/97 Nastavno~naucnog vijeca Ma~inskog fakulteta u Zenici ova knjiga je I ..
prihvacena kao udzbenik.

Na sjednici br. 1104 Nastavno-naucnog vijeca Masinskog fakulteta u Zenici prihvaceno je II

izdanje ovog udzbenika. -

1
1.1.
1.2.
1.3.

2
2.1.
2.1.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.S.
2.9.
2,10.

3

3.1.
3.1.1.
3.2.
3.2.1 •.

3.2.2.
3.2.3.

Uloga i zadatak teorije oscilacija
Osnovni pojruovi 0 oscilatornom kretanju
Vrste oscilacija

SADRZAJ

3 ___ ~_i
Stabilnost ~avnoteze sistema u konzervativnom polju 5
T~ore~a ~J.apunova 0 stabilnosti kretanja i mirovanja 5
LmeanzaclJa diferencijalnih jednacina kretanja
Potencijalna energija 7
Lagranz-Dirihleova teorema 8
Kriterijum Silvestera 11
P~'a i.~ruga teo~ema Ljapunova 0 nestabilnosti ravnoteZe 12
Kmetlcka energiJa sistema 14
Relejeva funkcija rasipanja 15
Neka svojstva kvadratne forme 20
Primjeri 24

SJobodne neprigusene oscilacije
Slobodne oscilacije pri djeJovanju konstantne sile
Slobodne prigusene oscilacije
Slobodne prigusene oscilacije sa otporom proporcionalnim
prvom stepenu brzine
Prividno periodicno kretanje
Aperiodicno krctanje

25

31
38
40

41

42
49

Page 63

TEORIJA OSCILACIJA

U polozaju stabilne ravnoteze i potencijalna energija Ep je takoder pozitivno definitna i
zadovoljava Silvesterov kriterijum

(5.3)

lz gomjih nejednacina proizilazi da mora biti

all> 0, e22 > 0 . (5.4)

Diferencijalne jednacine kretanja postavice se koristenjem Lagranzovih jednacina druge vrste:

(5.5)

Po~to su aij = const. i cij = const., prerna (5.1) dobi6e se

(5.6)

pajednacina kretanja za generalisanu koordinatu qj dobija oblik

Po~to su G I2 =a21 =C12 =c2J ' slicna jednaCina se dobija i za koordinatu q2' tako da konacni
sistem diferencijalnih jednacina glasi:

all ii, +a12 ii, +CII q, +c" q, =0,
a21 iii +a22 q2 +C21 qj +C22 Q2:::: 0 .

(5.7.a)

Ova su, dakle, diferencijalne jednacine slobodnih neprigu~enih osciJacija materijainog sistema
sa dva stepena slabode kretanja. Po svome karakteru, ove diferencijalne jednaCine su
homogene diferencijalne jednacine drugog reda sa konstantnim koe,ficijentima.

116

5. MALE OSCILAClJE MATERlJALNOG SISTEMA SA DVA STEPENA SLOBODE KRETANJA

Diferencijalne jednacine kretanja (5.7.a) mogu se prikazati u matricnom obliku

(5.7.b)

Ovakav naein matematickog defmisanja stanja u teoriji oscilacija vrlo cesto se koristi kad
materijalnih sistema koji imaju vi~e stepeni slobode.

U opstern slucaju, diferencijalne jednacine (S.7.a) su povezane (spregnute) po koordinatama

ql i q2 i po ubrzanjima ijj i Q2'

Clanovi koji se u izrazima za kineticku energiju sistema mnO:le sa kvadratom generalisanih
brzina, kao i clanovi koji se u izrazima za potencijalnu energiju mnoze sa kvadratima
generalisanih koordinata (5.1), a to su konkretno

(5.8)

nazivaju se kvadratnim clanovirna.

Clanovi koji se u izrazu za kineticku i potencijalnu energiju mnoze sa proizvodom
generalisanih brzina, odnosno generalisanih koordinata

(5.9)

zovu se mjdoviti clanovi.

Na osnovu navedenog moze se u06ti da povezivanje diferencijalnih jednacina (5.7.a) po

ubrzanjima zavisi od mjesovitog clana al2 ill if2 u izrazu za kineticku energiju, dok sprega po
koordinatama potjece od mjesovitog ciana Cn ql q2 U izrazu za potencijalnu energiju sistema.

Ukoliko su jednaCine (5.7.a) spregnute sarno po koardinatama, onda je a12 =a21 =0. Slicno

tome, aka su jednaeine spregnute sarno po ubrzanjima, tada je e l2 =C21 =0. U posebnom

slucaju, kada su a
12

=a21 =0 i Cl2 =C21 =O, jednacine (5.7.a) nisu spregnute oi po

koordinatama niti po ubrzanjima, vee su razdvojene, a to zoaei da izrazi za Ek i E p ne sadrze

mjesovite clanove.

117

Page 64

TEQRlJA QSCILACIJA

5.1.2. Opsti integrali diferencijalnih jednacina kretanja

Jedan od uobicajenih nacina rjesavanja linearnih diferencijalnih jednaCina sa konstantnim
koeficijentima jeste svodenje sistema od dvije diferencijalne jednacine drugog reda na jednu
jednacmu cetvrtog reda u cilju provodenja integracije.

OVdje ce se, medutim, rjesenje potraziti na drugi nacin i to koristeci svojstvo lineamih
diferencijalnih jednacina sa konstantnim koeficijentima da je zbir njihovih partikularnih
integrala jednak opstcm integraiu.

U tom smislu opste rjesenje se maze iskazati na sljedeci nacin:

q, =q ~I)+q ~'),

g, =q ~)+q ~'J

Prvi partikularni integrali pretpostavit ce se u obliku

a drugi partikuJami integrali U obliku

q(2)=A I2 )cos(OJ I-a) 1 I 2 2'
g l2L A(2)cos(OJ I-a) 2 - 2 2 2'

(5.10)

(5.11)

(5.12)

Cjelokupni postupak u prvom j drugom slucaju je istovjetan, s tim sto su proizvoljne konstante
oznacene drugim indeksima. Stoga ce se partikulami integrali potraziti sarno jedanput
izostavljajuCi indekse i to u obiicima:

g, =Acos(OJt-a) ,

g2=Bcos(0JI-a) ,
(5.13)

gdje su A, B, OJ i a nepoznate konstante, uvedcne nakon objedinjavanja postupka
odredivanja po dva partikularna integraia.

Diferenciranjem izraza za ql i qz dva puta po vrernenu, dobija se

ii, =_OJ2 A Cos(OJI-a) , ii2 =-OJ' B cos(OJt-a). (5.14)

118

5. MALE OSCILAClJE MATERlJALNOG SISTEMA SA DVA STEPEiNA SLOBODE KRETANJA

Zamjenorn izraza (5.13) i (5.14) u jednaCine (5.7.a), dobija se

-allal ACOS(OJI-a)-a12BOJ' cos(OJI-a)+

+cII Acos(OJt-a)+c12 Bcos(OJI-a)=O.

-a2lOJ' Acos(OJI-a )-a22B OJ2 COS(OJI-a)+

+c2l AcoS(OJI-a)+c22 Bcos(OJI-a)=O.

(5.15)

Da bi jednacine (5.15) bile zadovoljene za svako t, izracunat ce se koeficijenti uz
cos (OJt - a) i izjednaciti sa nul am, pa se dobija sistem jednacina

A(C11 -all a/)+ B(CJ2 -aiZ oi )=0,
A( cll -a21 oi)+ B(cZ2 -a22 0/ )=0.

(5.16)

lednacine (5.16) ocito imaju trivijaino rjesenje ukoliko je A = B = o. Sa aspekta teorije
oscilacija avo rjesenje se ne razmatra, jer u tom slucaju sistem ne bi vrsio ascilatamo kretanje,
vec bi mirovao.

Sistem homogenih algebarskih jednaCina (5.16) ce imati i druga rjesenja osim trivijalnih, ako je
njegova detenninantajednaka nuli, to jest ako je

(5.17)

Ako se detenninanta (5.17) razvije, dabice se

(5.18)

lednacina (5.17) iIi (5.18) naziva se frekventnom jednacinom. Ovo je bikvadratna jednacina i

ima dva karijena OJl
2

i wi .
Sada trcba dokazati da su aba korijena ave jednacinc realni i pozitivni. Dokaz se izvodi tako

sto se izracunavaju vrijednosti polinama (5.'-18), tj. funkcije ~(al), za razliCite vrijednosti
argumenta W

2
, a zatim se spoje tacke krive ~(al)::::: 0, S1. 5.1.

11Q

Page 125

TEORllA OSCILACIlA

240

9, LITERATURA

Andelic, T., Stojanovic, R: Racionalna mehanika, Zavod za izdavanje udibenika
SR Srbije, Beograd, 1965.,
Andronov, A.A., Haikin, S.E.: Teorija kolebanija, Moskva, 1959.,
Babakov, I.M.: Teorija kolebanija, Nauka, Moskva, 1968.,
Bellman, R.: Introduction to Matrix Analysis, Me Graw-HilI, New York, 1960.,
Bidennan, V.L.: Prikladnaja teorija mehaniceskih kolebanij, Moskva, 1972.,
Blagojevic, D.: Zbirka zadataka iz oscilacija, Beograd, 1957",
Breie, V.: Dinamika konstrukcija, Gradevinska knjiga, Beograd, 1978.,
Clough, R., Penzien, J.: Dynamics of Structures, Me Graw-Hill, New York,
1975.,
Coric, 8., Rankovic, S., Saiatic, R.: Dinamika konstrukcija, Univerzitet u
Beogradu, Beograd, 1998.,
Demidovic, B ,P.: Lekcii po matematiceskoi leorii ustoicivosti, Nauka, Moskva,
1967.,
Den Hartog, J.P.: Vibracije u masinstvu (prevod sa engleskog), Gradevinska
knjiga, Beograd, 1972.,
Dolecek, V., Lovren, N., Sipci6, S., Sipovac, 8.: Zbirka zadataka iz dinamike i
oscilacija, Svjetlost, Sarajevo,1981.,
Dolecek, V.: Teorija oscilacija, Masinski fakultet, Sarajevo, 1977.,
Durie, S.: Mehanika III i IV - Dinamika i teorija oscilacija, Masinski fakultet,
Beograd, 1987.,
Gligorie, B.: Dinamicko uravnotezavanje rotOfa obrtnih masina, teorijske osnove i
mjemi principi, Masinski fakultet u Kragujevcu, Kragujevae, 1978.,
Jablonski, A.A.: Kurs teorije kolebanija, Moskva, 1975.,
Kiljecvskij, N.A.: Kurs teoreticeskoj mehaniki, Tom II, Nauka, Moskva, 1977.,
Kojic, M., Mieunovi6, M.: Teorija oscilacija, Naucna knjiga, Beograd, 1979.,
Krpan, M., Franulovie, A., Butkovic, M., Zigulie, R., Braut, S.: Dinamika -
teorija i primjena, Tehnicki fakultet Sveucilista u Rijeci, Rijeka, 2001.,
Levy, S., Wilkinson: The Component Element Method in Dynamics, Me Graw-
Hill, New York, 1976.,
Me Lean, W., Nelson, E.: Engineering Mechanics, Theory .and Problems,
Schaum's Outline Series, Mc Graw-HiIl, New York, 1962.,
Nikolai, E.L.: Teoreticeskaja mehanika, Moskva, 1957.,

241

Page 126

TEORIJA OSC]LAClJA

242

Obradovi6. A., Markovic, S.: Zbirka zadataka iz teorije oscilacija, Narodna
knjiga, Beograd, 1996.,
Przemieniecki, J.S.: Theory of Matrix Structural Analysis, Me GrawNHill, New
York,1968.,
Radosavljevic, Lj,; Teorija osciiacija, Masinski fakultet, Beograd, 1972.,
RaSkovi6, D.: Otpomost materijala, Naucna knjiga, Beograd, 1961.,
Raskovic, D.: Teorija oscilacija, Naucna knjiga, Beograd, 1965.,
Rusov, L., Blagojevic, D., Gligoric, M.: Zbirka rijesenih zadataka iz oscilacija
mehanickog sistema, Beograd, 1970.,
Rusov, L.: Dinamika, Naucnaknjiga, Beograd, 1989.,
Skrinar, M.: Uvod v osnove raeuna dinamike in stabilnosti gradbenih konstrukcij,
Fakulteta za gradbeniStvo, Maribor , 2002

. Spiegel, M.R.: Theoretical Mechanics, Theory and Problems, Schaum's Outline
Series, Mc GrawMHill, New York: 1967.,
Timosenko, S., Young, D.H., Weaver, W.: Vibration Problems in Engineering,
John Eiley, New York, 1974.,
Timosenko, S.P.: Teorija oscilacija, Gradevinska knjiga, Beograd, 1966.,
VlljiCic, V.: Teorija oscilacija, Savremena administracija, Beograd, 1974.,
Vukojevic, D.: Dinamika, MaSinski fakultet, Zenica, 1990.
Waldron, K.J., Kinzel, O.L.: Kinematics, Dynamics, and Design of Machinery,
John Willey & Sons, 1999.,
Wells, D.A.: Lagrangian Dynamics, Theory and Problems, Schaum's Outline
Series, Mc Graw-HilJ, New York, 1967.,
ZaimovicMUzunovic, N., Lemes, S.: Metod konacnih elemenata, Dom stampe,
Zenica, 2002.,

Similer Documents