Download Statika Konstrukcija I - Skripta PDF

TitleStatika Konstrukcija I - Skripta
File Size712.3 KB
Total Pages67
Table of Contents
                            skripta_1dio
	Slika 2.3. Dispozicija krovne plo~e sa {emom raspodjele optere}enja
	Tabela 2.1. - Primjer analize optere}enja
	RAMOVI 1 i 2
	Slika 2.4.  Stati~ke {eme i optere}enja linijskih modela za primjer sa slike 6.
		Slika 3.1. Plo~a i linijski model plo~e
		Slika 3.2. Elementi {tapa
skripta_2dio
skripta_3dio
                        
Document Text Contents
Page 1

Statika I 1. Uvod

1. UVOD


1.1. Predmet izu~avanja


Prilikom projektovanja objekata, zadatak gra|evinskih in`enjera je da osmisle -
projektuju konstrukciju koja }e osigurati funkcionalnost objekta pri djelovanju
o~ekivanih vanjskih uticaja na objekat. Drugim rije~ima, zadatak konstruktera je da
odabere dimenzije i raspored svih konstruktivnih elemenata, kao i materijal od kojih }e
se ti konstruktivni elementi napraviti.

Jedini na~in da se do|e do optimalnih dimenzija konstruktivnih elemenata je da
se prora~unaju naprezanja i pomjeranja konstrukcije uslijed djelovanja vanjskih uticaja.
Dakle, potrebno je prvo sagledati sve uticaje koji djeluju na konstrukciju i brojno ih
izraziti. Taj dio prora~una se naziva analiza optere}enja. Nakon toga, se osmisli
konstrukcija koja to optere}enje mo`e prenijeti na tlo, a potom je potrebno matemati~ki
provjeriti i dokazati da ne}e do}i do prevelikih naprezanja ili pomjeranja te
konstrukcije. Pri tome je potrebno usvojiti niz pretpostavki, pomo}u kojih se realna
konstrukcija zamjenjuje matemati~kim modelom koji je mogu}e matemati~ki
analizirati. Ovaj dio prora~una se naziva modeliranje konstrukcije. Kori{tenjem fizi~kih
zakona, a na osnovu usvojenih pretpostavki i konstruktivnog modela vr{i se prora~un
naprezanja unutar konstrukcije i prora~un pomjeranja svih ta~aka konstrukcije. Na
osnovu dobivenih rezultata vr{i se dimenzioniranje konstruktivnih elemenata.


Savremena analiza konstruktivnih sistema podrazumijeva upotrebu ra~unara i

odgovaraju}ih softvera za prora~un i dimenzioniranje konstrukcija. To zna~i da se sada
zadatak in`injera konstruktera sastoji u tome da napravi analizu optere}enja, osmisli
model konstrukcije (sve ~e{}e trodimenzionalni) i unese ga u memoriju ra~unara.
Nakon toga, dobivaju se rezultati prora~una na kompletnom modelu: presje~ne sile,
pomjeranja, deformacije, naponi, a ukoliko to `elimo i dimenzije popre~nih presjeka,
odnosno koli~ine i raspored armature. Obzirom da su moderni softverski paketi za
analizu konstrukcija opremljeni modulima pomo}u kojih se unos podataka obavlja
grafi~ki na prili~no jednostavan na~in, ~ini se da je cijeli proces analize konstrukcije
prili~no jednostavan i nije zahtijevan sa aspekta poznavanja teorije na kojoj se zasniva
analiza konstrukcija.

Me|utim, u opisanom procesu analize konstrukcije mogu se dobiti pogre{ni
rezultati, koji mogu biti posljedica gre{ke u analizi optere}enja, gre{ke u modeliranju
(naj~e{}e) ili gre{ke u prora~unu. Obzirom da je za ta~nost rezultata prora~una uvijek
odgovoran isklju~ivo projektant, pred njega se postavlja jako zahtijevan zadatak da
provjeri ta~nost prora~una. Uz upotrebu ra~unara ovaj zadatak postaje jo{ te`i, jer je
sam prora~un van kontrole projektanta. To zna~i da projektant mora biti sposoban
procijeniti ta~nost rezultata koji su dati na kompletnom (~esto i vrlo slo`enom) modelu,
a samo na osnovu ulaznih podataka. Jasno je da je za ovakav zadatak potrebno bolje
razumijevanje pona{anja konstrukcije u odnosu na tradicionalni pristup gdje se slo`ena
konstrukcija rastavljala na niz jednostavnijih sistema koji su se ra~unali odvojeno.

Dakle, konstrukcije projektuju i analiziraju projektanti - konstrukteri, a ra~unari
su sredstvo da se analiza sprovede kvalitetnije, jer je omogu}ena analiza vi{e varijanti
konstruktivnih rje{enja i analiza uticaja pojedinih korekcija konstruktivnog sistema na
rezultate prora~una. Pri tome, ovakva kvalitetna analiza podrazumijeva da projektant u

1

Page 2

Statika I 1. Uvod

potpunosti razumije pona{anje konstrukcije pod raznim uticajima i da u potpunosti
vlada metodama koje se koriste u svim fazama analize.

U okviru predmeta Statika I i Statika II prou~avaju se teoretske osnove i metode
analize linijskih i najjednostavnijih povr{inskih nosa~a kao deformabilnih sistema. Pod
pojmom linijski nosa~ podrazumijeva se konstruktuvni element ~ije se dvije dimenzije
mogu zanemariti (stubovi i grede), a povr{inski nosa~i se elementi kod kojih se
zanemaruje jedna dimenzija (plo~e, zidovi i ljuske).

Tradicionalno, svi linijski nosa~i se dijele na stati~ki odre|ene i stati~ki
neodre|ene nosa~e. Za prora~un presje~nih sila i napona stati~ki odre|enih linijskih
nosa~a, koji su dijelom izu~avani u okviru predmeta Otpornost materijala I, uvjeti
ravnote`e su dovoljni, tako da nema potrebe uzimati deformabilnost nosa~a u obzir.
Drugim rije~ima, takvi linijski sistemi se tretiraju kao skup krutih tijela me|usobno
povezanih krutim ili zglobnim vezama.

Naravno, ukoliko `elimo izra~unati pomjeranja stati~ki odre|enih nosa~a
potrebno je {tapove takvog sistema tretirati kao deformabilna tijela. U okviru predmeta
Statika 1 zadatak }e biti prou~avanje metoda za odre|ivanje presje~nih sila, pomjeranja
i deformacija stati~ki odre|enih nosa~a.


1.2. Osnovne jedna~ine mehanike
Osnovni zadatak u mehanici jeste da se izra~unaju pomjeranja nekog

deformabilnog sistema uslijed djelovanja vanjskih uticaja. Vanjski uticaji mogu biti:
optere}enja, zadata pomjeranja pojedinih ta~aka ili temperaturne promjene. Svi ovi
uticaji su mjerljivi i smatraju se poznatim prije po~etka prora~una. Pomjeranja sistema
su nepoznate veli~ine i zadatak je da se za date rubne uvjete izra~unaju pomjeranja.
Direktna veza izme|u vanjskih uticaja i rezultiraju}ih pomjeranja ne postoji, pa se
uspostavlja posredna veza uvo|enjem novih nepoznatih veli~ina: napona i deformacija.
Svaki mehani~ki problem se matematski mo`e opisati pomo}u tri seta diferencijalnih
jedna~ina kojima se uspostavlja veza izme|u poznatih vanjskih uticaja i nepoznatih
napona, deformacija i pomjeranja. U ovom dijelu }e se pokazati oblik tih jedna~ina za
op{ti problem u mehanici, bez izvo|enja. Sve ove jedna~ine kao i kori{teni pojmovi su
detaljno obja{njeni u predmetima Otpornost materijala I i II.

Jasno, da bi se diferencijalne jedna~ine rije{ile, potrebno je zadati i rubne uvjete.
Pod rubnim uvjetima se podrazumijevaju unaprijed zadate vrijednosti pomjeranja ili
napona u pojedinim ta~kama sistema. Stoga se ~esto u literaturi mehani~ki problemi
nazivaju i problemi rubnih vrijednosti u mehanici.

JEDNA^INE [email protected]

Diferencijalne jedna~ine ravnote`e se dobivaju iz uvjeta da je vektorski zbir svih
sila koje djeluju na infinitezimalni segment (kvadar) nekog tijela jednak nuli.

∇ ⋅ + =σ b 0 (1.1)
ili u razvijenom obliku:

2

Page 33

Statika I Uticajne linije

L
ca

cLx
L

ba
axa

L
x

aAMM CV
L ⋅−=→+=


=→=⋅⎟






⎛ −=⋅=⇒=∑ μμ ;,10 111


L
c

cLx
L
b

ax
L
x

ATY BV
L =→+=−=→=⎟






⎛ −−=−=⇒=∑ μμ ;,10 111

Presjek 2: Kada presije~emo nosa~ u presjeku 2 i posmatramo ravnote`u desnog
dijela nosa~a, jasno je da su presje~ne sile u presjeku 2 jednake nuli kada se jedini~na
sila nalazi lijevo od presjeka, tj. kada se sila nalazi izme|u oslonaca.

Kada se sila nalazi desno od presjeka 2, posmatra}emo opet ravnote`u desnog
dijela nosa~a na kojem djeluje samo jedini~na sila. Ako udaljenost sile od presjeka 2
ozna~imo sa x’ imamo:

[ ] ccxxcxxMM CD −=→=′=→=′∈′′⋅−=⇒=∑ μμ ;00,,0;0.10 222
0.1,0.10 222 −==−=⇒=∑ CD TY μμ





















1

2

L
a



L
b



L
ab


L
ac

− "M1"

"T1"

L
c



c−"M2"




-1.0 "T2"



Slika 5.4

Posmatraju}i uticajnu liniju za momenat M1, mo`emo zaklju~iti da optere}enje
na prepustu smanjuje momenat u polju. To zna~i da se pokretno optere}enje ne smije
staviti na prepust, ukoliko tra`imo mjerodavni momenat za dimenzioniranje presjeka u
polju.

5.2. Integracija uticajnih linija

Pomo}u uticajnih linija je mogu}e dobiti vrijednosti uticaja od bilo kakvog
optere}enja mno`enjem stvarnog optere}enja sa ordinatama uticajnih linija. Ovaj
postupak se naziva integracija uticajnih linija. U nastavku }e se izvesti izrazi za
integraciju uticajnih linija uslijed djelovanja osnovnih optere}enja koja mogu djelovati
na linijski nosa~.



33

Page 34

Statika I Uticajne linije

Koncentri~na sila

P
Po{to je po definiciji μ1 vrijednost uticaja od sile ~ija
je vrijednost 1.0, jasno je da }e vrijednost istog tog
uticaja od sile P biti jednak: μ1

1μ⋅= PZ



Kontinuirano optere}enje

( ) ( ) AqdxxqdxxqZ
b

a

b

a

⋅=⋅=⋅= ∫∫ μμ
q

gdje je A povr{ina koju zatvara uticajna linija ispod
optere}enja.



Linearno promjenjivo optere}enje

( ) ( ) ( )∫∫ ⎟⎠









+=⋅=
b

a

b

a

dxxx
ab
qq

qdxxxqZ μμ 121

AqAx
ab
qq

AqZ TT ⋅=⋅⋅−


+= 121

gdje je A povr{ina koju zatvara uticajna linija ispod
optere}enja, a qT vrijednost optere}enja iznad te`i{ta
figure oivi~ene uticajnom linijom i ordinatama na
krajevima optere}enja.

A

A

q1 q2

a

xT

qT

b

Koncentri~ni momenat

Ako momenat rastavimo na spreg sila imamo:

( ) αμμμμ tan2121 ⋅=−=⋅−⋅= Md
M

PPZ

M P P

μ1
μ2

α
d

Predznak uticaja se odre|uje na osnovu odnosa
ordinata μ1 i μ2.





5.3. Maksimalni uticaji od optere}enja



Razvojem softverskih paketa za analizu konstrukcija, prora~un mjerodavnih
uticaja pomo}u uticajnih linija sve vi{e gubi svoju prakti~nu vrijednost. Me|utim, jako
je bitno poznavati oblike uticajnih linija za nosa~e koji su optere}eni znatnim
pokretnim optere}enjem, jer se jedino tako mo`e znati gdje je potrebno staviti
optere}enje da bi se dobili mjerodavni uticaji za dimenzioniranje.

34

Page 66

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja





N

1.0Q =














n n
Nq


N

n

'N

n


Slika 6.18. Odre|ivanje pomjeranja ta~ke

Po{to se tra`i realno pomjeranje ta~ke N u pravcu n-n, primijenit }e se Lagrange-
ov princip komplementarnog virtuelnog rada:

* *

*

1

*

1 0 0 0

0

s s s

v u

j
n n

v N i i
i

L L LS

u
s

A A

A Q q R c

A N ds M ds T ds

δ δ

δ

δ ε κ



=

=

+ =

= ⋅ +

⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠



∑ ∫ ∫ ∫ γ



Uvr{tavaju}i u izraz za unutra{nji komplementarni virtuelni rad jedna~ine kojima
su definisane deformacije od uticaja optere}enja i promjene temperature, dobiva se:

0
1 1 0 0 0

s s sL L Lj S
n n
N i i t t

i s s s s

N M t

s

kT
R c N t ds M ds T ds

EA EI h GA
α α−

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ
+ = + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑ ∫ ∫ ∫

N

Qq

Ako promijenimo oznaku generalisanog pomjeranja: n nNq
− = Δ i uzmemo u obzir

da je 1.0Q , dobivamo: =

0
1 1 1 1 10 0 0 0

s s s sL L L L jS S S S S

N t t
s s s s s is s s s

NN MM kTT t
ds ds T ds M ds N t ds R c

EA EI GA h
α α

= = = = =

Δ
Δ = + + + + −∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

1
i i

=



(6.67)

Napominje se da ovaj izraz vrijedi za sisteme u ravni sastavljene od pravih
{tapova i izlo`ene djelovanju optere}enja u ravni, promjeni temperature i slijeganju
oslonaca. Jedna~ina (6.67) se mo`e primijeniti za prora~un bilo kojeg generalisanog
pomjeranja u bilo kojem pravcu, {to se odre|uje izborom generalisane jedini~ne sile.
Postupak se sastoji u tome da se odrede dijagrami presje~nih sila od datog optere}enja,
postavi jedini~na sila u ta~ku ~ije se pomjeranje tra`i i to u pravcu tra`enog pomjeranja,
a zatim se nacrtaju dijagrami presje~nih sila od jedini~nog pomjeranja. Nakon toga se
izra~unava tra`eno pomjeranje prema jedna~ini (6.67).

U zavisnosti od toga kakvu generalisanu silu postavljamo, mogu se ra~unati
slijede}a pomjeranja:

66

Page 67

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

1. linijsko pomjeranje u nekom pravcu - koncentrisana sila

2. ugao zaokreta - koncentrisani momenat

3. promjena rastojanja izme|u dvije ta~ke (A i B) - dvije koncentrisane sile
suprotnih smjerova u pravcu odre|enom ta~kama A i B

4. relativna rotacija dva presjeka, tj. promjena ugla izme|u tangenti na dva
presjeka - dva koncentrisana momenta suprotnih smjerova

5. ugao zaokreta {tapa - dvije koncentrisane sile koje ~ine jedini~ni spreg

Ukoliko se nakon izra~unavanja pomjeranja prema jedna~ini (6.67) dobije
negativan rezultat, tada je tra`eno pomjeranje u suprotnom smjeru od aplicirane
jedini~ne sile.

U jedna~ini (6.67) su obuhva}eni svi vanjski uticaji i doprinos svih unutra{njih
sila. U praksi se naj~e{}e koristi samo integral gdje su podintegralne funkcije momenti.
Razlog tome je to {to je vrijednost ovog integrala obi~no mnogo ve}a od vrijednosti
integrala sa transverzalnim i normalnim silama. Naime, momenti, transverazalne i
normalne sile imaju isti red veli~ine kada se momenti izra`avaju u kNm, ali su momenti
inercije mnogostruko puta manji od povr{ine popre~nih presjeka kada se ove veli~ine
izra`avaju u m4, odnosno m2.

Integrali jedna~ine (6.67) se mogu ra~unati na razli~ite na~ine. U statici
konstrukcija se najvi{e koristi tzv. postupak Vere{~agina. Ovaj postupak je izveden za
prora~un integrala gdje je podintegralna funkcija jednaka proizvodu dvije funkcije, od
kojih je jedna linearna. U op{tem slu~aju, dakle, imamo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

b b b b

a a a a

T T T

f x f x dx a bx f x dx a f x dx b xf x dx

aA bx A A a bx Af x

= + = +

= + = + =

∫ ∫ ∫ ∫ (6.68)

gdje je A povr{ina ispod funkcije ( )f x , a ( )1 Tf x ordinata linearne funkcije u ta~ki
te`i{ta povr{ine A. Prema tome, postupkom Vere{~agina se ra~una integral proizvoda
dvije funkcije, od kojih bar jedna mora biti linearna, na taj na~in {to se sra~una
povr{ina ispod nelinearne funkcije, na|e njeno te`i{te i pomno`i sa ordinatom linearne
funkcije u ta~ki tog te`i{ta. Iz prikazanog izvo|enja, sasvim je jasno da se ne mo`e isti
integral ra~unati tako {to }e se povr{ina ispod linearne funkcije mno`iti sa ordinatom
nelinearne funkcije iznad te`i{ta.

U slu~aju da {tap ima promjenjiv popre~ni presjek, integracija se ne mo`e izvesti
postupkom Vere{~agina. Tada se integraljenje mo`e izvr{iti jednom od metoda
numeri~ke integracije, kojima se dobiva pribli`no rje{enje integrala.







67

Similer Documents