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Problemario de Análisis Vectorial

Barranco Jiménez Marco Antonio
e-mail: [email protected]

June 24, 2004

1

Page 2

1 In tro ducci�on

La presente selecci�on de problemas resueltos de la materia de An�alisis Vectorial,
tiene como objetivo principal, el de proporcionar al alumno que cursa la materia,
un apoyo bibliogr�a�co m�as para el entendimiento de la misma, esperando que
le sea de gran ayuda, en la aplicaci�on de la teoria adquirida en el sal�on de clases
y poder ejercitar sus conocimientos en la soluci�on de problemas similares.

La mayoria de los problemas, son problemas que se resuelven como ejemplos
en el sal�on de clases tratando en lo que cabe de cubrir el m�as m��nimo detalle
algebraico, con la �unica intenci�on de lograr la mejor comprensi�on por parte del
alumno, como puede observarse en la soluci�on de cada problema. La mayoria
de los problemas resueltos, son problemas que est�an propuestos en libros tradi-
cionales de la materia, como por ejemplo, el libro de An�alisis Vectorial de la
editorial Mc Graw Hill (serie Schaum), cuyo autor es Murray R. Spiegel y el
libro de An�alisis Vectorial de la editorial Addison-Wesley Iberoamericana, cuyo
autor es Hwei P. Hsu., entre otros.

La idea de escribir esta serie de problemas, es debida principalmente a la ex-
periencia que el autor ha adquirido al impartir la materia en el primer semestre,
en la Escuela Superior de C�omputo del IPN, de la carrera de Ingenier��a en Sis-
temas Computacionales, y en la cual el ��ndice de alumnos que no aprueban la
materia es muy alto.

La materia de An�alisis Vectorial por si s�ola, es una materia que generalmente
es muy complicada para los estudiantes de nuevo ingreso, (a�un imparti�endose
�esta en un semestre posterior) en una carrera de Ingenier��a en el �area de Cien-
cias F��sico-Matem�aticas, este hecho tiene distintos puntos de vista; por ejemplo,
los pocos conocimientos de las materias b�asicas de Matem�aticas ( �Algebra, Ge-
ometr��a Anal��tica, C�alculo Diferencial e Integral, Trigonometr��a, etc) con los que
cuenta el estudiante al ingresar al nivel superior, sin embargo, como el lector
podr�a observar, en la soluci�on de cada uno de los problemas resueltos, realmente
son m��nimos los conocimientos que el alumno necesita de las materias b�asicas de
Matem�aticas. As�� tambi�en, podr��a ser el desinter�es que muestran en general los
alumnos hacia la materia, debido a que pos��blemente las dem�as materias, como
Matem�aticas Discretas y Programaci�on, por mencionar algunas, son materias
que en general los conceptos son m�as "f�aciles" de entender por parte del alumno,
o son materias de un inter�es mayor por ser materias dirijidas a su formaci�on.

Y principalmente, en realidad el temario de la materia (mencionando tambi�en
que en algunos casos puede ser muy extenso para cubrirse en un semestre, como
en muchas otras materias b�asicas), en general es di�cil de asimilar por parte de
los alumnos, conceptos por ejemplo, por citar algunos, como el de Gradiente,
Divergencia y Rotacional, as�� como la parte de coordenadas curvil��neas que in-
volucran el C�alculo de funciones de m�as de una variable, matem�aticamente son
complicados de manejar por los alumnos, sin mencionar la interpretaci�on f��sica
de los mismos.

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Problema 26.
a) Demostrar

−→
A = (6xy + z3)̂i+ (3x2 − z)ĵ + (3xz2 − y)k̂

que es irrotacional.

b) Hallar φ tal que
−→
A = ∇φ.

Solución:

a) Verifiquemos primeramente si el campo vectorial dado es irrotacional

∇×−→A =

∣∣∣∣∣∣

î ĵ k̂
@
@x

@
@y

@
@z

6xy + z3 3x2 − z 3xz2 − y

∣∣∣∣∣∣

=

(


∂y
(3xz2 − y)− ∂

∂z
(3x2 − z)

)



(


∂x
(3xz2 − y)− ∂

∂z
(6xy + z3)

)


+

(


∂x
(3x2 − z)− ∂

∂y
(6xy + z3)

)


= (−1 + 1)̂i−
(
3z2 − 3z2

)
ĵ + (6x− 6x)k̂.

Por lo tanto como ∇×−→A = −→0 entonces −→A es irrotacional.
b) del resultado anterior, se tiene que

−→
A = ∇φ por lo tanto

∂φ

∂x
= 6xy + z3,

∂φ

∂y
= 3x2 − z,

∂φ

∂z
= 3xz2 − y.

Integrando parcialmente con respecto a x, y y z respectivamente, obtenemos:

(1) φ(x, y, z) = 3x2y + xz3 + f(y, z),

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(2) φ(x, y, z) = 3x2y − yz + g(x, z),

(3) φ(x, y, z) = xz3 − yz + h(x, y),
derivando parcialmente con respecto a z las ecuaciones (1) y (3) obtenemos,

∂φ

∂z
= 3xz2 +

∂f(y, z)

∂z
,

∂φ

∂z
= 3xz2 − y,

de las ecuaciones anteriores se obtiene,

∂f(y, z)

∂y
= −y,

integrando nuevamente con respecto a y obtenemos,

f(y, z) = −yz +m(y),
substituyendo en la ecuación (1) obtenemos,

(4) φ(x, y, z) = 3x2y + xz3 − yz +m(y).

Aplicando nuevamente el mismo procedimiento, es decir; de las ecuaciones
(2) y (4) derivando parcialmente con respecto a y, obtenemos

∂φ

∂y
= 3x2 − z + ∂m(y)

∂y
,

∂φ

∂y
= 3x2 − z,

de lo anterior, se tiene

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Page 216

S
−→r · d−→S =S1 −→r · d

−→
S +S2

−→r · d−→S
Para S1 :

Aplicando la definición del gradiente, donde φ (x.y.z) = x2 + y2 − z2 = 0
obtenemos,

n̂ =
∇φ
|∇φ|

=
2x̂i+ 2yĵ − 2zk̂√
4x2 + 4y2 + 4z2

=
x̂i+ yĵ − zk̂√
x2 + y2 + z2

,

observe que el vector n̂ = x
bi+ybj−zbk√
x2+y2+z2

, es normal interior (hacia adentro de S1),

por lo tanto

S1
−→r · d−→S = S1−→r · n̂dS

= S1

[
x̂i+ yĵ + zk̂

]
·
[
x̂i+ yĵ − zk̂√
x2 + y2 + z2

]
dS

= S2

(
x2 + y2 − z2√
x2 + y2 + z2

)
dS

= 0.

Para S2 :

De la figura, obsérvese que el vector unitario normal a S2 es n̂ = k̂, de
donde obtenemos inmediatamente que

n̂ · −→r = z,
además como z = 1, entonces la integral sobre la superficie S2 está dada por:

S2
−→r · n̂dS2 =S2 dS2,

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pero S2dS2 = π (1)
2
, es decir, el área de un ćırculo de radio 1, por lo tanto

S2
−→r · d−→S = π.

Por lo tanto la integral sobre la superficie S del problema está dada por:

(1) S
−→r · d−→S =S1 −→r · d

−→
S +S2

−→r · d−→S = π.
Por otro lado,

V∇ · −→r = 3V dV

= 3

[
1

3

(
π (1)

2
(1)
)]

que es igual al volumen de un cono de altura uno y radio 1, finalmente obtenemos

(2) V∇ · −→r = π
Por lo tanto, de los resultados (1) y (2) se verifica el Teorema de la diver-

gencia de Gauus, es decir,

S
−→r · d−→S =V ∇ ·

−→
F dv = π.

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