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TitleOscar Brito_calculo Dos Esforços Solicitantes Em Embarcações Utilizando Planhilha Eletronica
TagsPhysics Mathematics Physics & Mathematics Bending Buoyancy
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Page 1

Cálculo dos Esforços Solicitantes em Embarcações
Utilizando Planilha Eletrônica




Oscar Brito Augusto1


Resumo
No trabalho apresenta-se uma metodologia simples e prática para a obtenção dos esforços
solicitantes primários em estruturas de flutuantes. O corpo flutuante é considerado como
sendo uma viga, com peso equilibrado pelas forças de flutuação na presença de ondas,
podendo a distribuição de pesos não ser simétrica em relação ao plano longitudinal do corpo,
ocasionando, na condição de equilíbrio, banda e, eventualmente, trim. Para a sistematização, o
manuseio, a visualização dos dados e dos gráficos, o cálculo do equilíbrio na onda e as demais
operações necessárias, optou-se pelo uso de uma planilha eletrônica, o que torna o trabalho
exeqüível apenas com o uso de um computador pessoal. Adicionalmente, apresenta-se uma
metodologia para o cálculo do volume imerso do casco que pode ser facilmente estendida
para o cálculo de curvas hidrostáticas e de estabilidade de corpos flutuantes.



Abstract
In the work, a simple and practical methodology is presented for the attainment of primary
bending forces in ship structures. The floating body is considered as being a beam with
weight balanced by the buoyancy in waves. The distribution of weights may be
unsymmetrical relative to the body’s longitudinal plan, heeling and eventually trimming the
hull to the balance condition. For data systematization, data input, data visualization, data
plot, balance calculation of the floating body and other necessary operations, it was used an
Excel spread sheet, which is accessible for any engineer with a personal computer.
Additionally, a methodology for hull submerged volume calculation is presented and it can
easily be extended for hydrostatic and stability curves of floating bodies’ computation.


1 Prof. Associado do Departamento de Engenharia Naval e Oceânica
da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

1

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Nomenclatura

A área ângulo de trim
Ab área submersa da baliza peso específico da água
b(x) força de flutuação t peso específico da carga no tanque t
B boca ângulo de banda
BB bombordo ângulo de fase da onda
BE boreste ( , , ) sistema referencial de coordenadas
CA centro de área fator de comprimento de onda
CG centro de gravidade deslocamento da embarcação
D pontal leve peso do navio leve
dwtc peso da carga volume de carena
f(x) força líquida resultante: b(x)-q(x) t volume de tanque/porão/compartimento
Hw Altura da onda
h calado médio

)(xhb calado médio na posição da baliza
h(x) calado
hbb, hbe calado em BB e BE na baliza
KB altura do centro de flutuação
L comprimento da embarcação
LCB posição longitudinal do centro de carena
LCG posição longitudinal do centro de pesos
M momento fletor vertical da VN
Mey, Mez momento de área relativa aos eixos
Pemb peso da embarcação
q(x) peso distribuído ao longo do eixo x
Qj peso concentrado
V força cortante vertical da VN
VN viga navio
(x, y, z) sistema de coordenadas da embarcação
(x, y, z) coords. do volume de carena
(x y, z)leve coords. do CG do navio leve
(x, y, z)t coords. do centro de t
(x, y, z)G coords. do CG do navio carregado
yCA, zCA coords . do centro de área da baliza
zLN altura do eixo neutro da seção transversal



2

Page 11

yG

y

z

bbh

beh

zG

z



peso

empuxo

banda

y




Figura 6b – Navio em equilíbrio transversal

Observando-se a figura 6, na condição de equilíbrio as quatro condições a seguir devem ser
verificadas:


1. o peso da embarcação deve ser igual ao peso da água deslocada:

(23)

2. a posição longitudinal do centro de peso, xG, e do centro de volume imerso, x , figura
6a, devem satisfazer a relação:

tan)( zzxx GG (24)

3. a posição transversal do centro de peso, yG, e do centro de volume imerso, y , figura
6b, devem satisfazer a relação:

tan)( zzyy GG (25)

Definida, pelo projetista, a altura de onda Hw, o problema a ser resolvido passa a ser: quais
devem ser os valores de h , , e , para que as equações (23) a (25) sejam satisfeitas.

Dentre os diversos processos para se resolver esse problema, optou-se por um de otimização
que minimize o erro quadrático médio dos atributos de equilíbrio, equações (23) a (25), ou
seja, explicitamente, que se minimize a função:

11

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2
1

222
(tan)(tan)(

),,(

⎪⎭





⎪⎩














∇−∆

+⎟





⎛ −−−

+⎟





⎛ −+−

=

=


∇∇∇∇ γω

θ
ω

α
ω

θα

B
zzyy

L
zzxx

hf

GG
y

GG
x

(26)

onde os parâmetros L, B e ∆ foram arbitrariamente escolhidos para normalizar os termos da
soma do radicando de (26) e (ωx, ωy, ω∆) são pesos, também arbitrários porém com valores
positivos, que aceleram preferencialmente a convergência entre os termos.

Sendo ),,( hf θα não negativa, seu mínimo possui valor positivo ou nulo. Assim, se houver
uma condição de equilíbrio estático, existirá o ponto ),,( *** hθα que resulta em

0),,( *** =hf θα . Além disso, tal condição só ocorrerá se os termos quadráticos do radicando
da equação (26) forem identicamente nulos, o que satisfaz as equações (23) a (25).

Sem perda de generalidade do processo, pois qualquer biblioteca matemática que possua
recursos para otimização de funções possa ser utilizada, optou-se pelo uso da planilha
eletrônica Excel, que além de facilitar a sistematização dos dados, como tabulação dos pontos
das balizas e dos porões de carga, permite a confecção dos gráficos e possui uma ferramenta
de otimização baseada nos métodos Quase-Newton ou do Gradiente Conjugado, utilizado
para resolver a equação (26).


Cálculo dos esforços solicitantes

Com a embarcação em equilíbrio, podem-se calcular os esforços solicitantes à flexão
longitudinal da viga navio. Adotando-se a Teoria Simples de Vigas [2], com pequenas
deflexões e no regime elástico, a distribuição de momentos fletores ao longo do eixo, M(x),
deve satisfazer a relação:

)(
2

2

xf
dx

Md
= (27)

onde f(x) é a carga transversal na viga, expressa por uma distribuição longitudinal de forças.
Para a embarcação, ela é o valor líquido resultante da superposição da distribuição do peso
q(x) e da flutuação b(x). Pelo sistema de coordenadas adotado, as forças de flutuação são
positivas e as de peso são negativas, conforme se define na figura 7.



Curva de Pesos CGs F - Aguas tranquilas F -Tosamento F - Alquebramento

123456789



(+)

(-)









Figura 7 – Curva de distribuição de pesos e de flutuação da viga navio

12

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Tabela T3 - Propriedades de Área da Seção Mestra

x y x y Quant Area Próprio Transf. Total
mm mm mm mm mm mm2 mm mm3 mm4 mm4 mm4

1 0 0 1800 0 20 1 1779 37779 0 0 0 0 0
2 1800 0 8100 0 18.5 6 4268 142158 0 0 0 0 0
3 8100 0 14400 0 18.5 6 4268 142158 0 0 0 0 0
4 14400 0 19560 0 17 6 4268 113328 0 0 0 0 0
5 c

t
t

19560 0 21500 1940 20.5 0 0 62471 705 44039105.64 22268907358 31045704049 53314611407
6 21500 1940 21500 8820 20.5 7 3247 163769 5380 881077220 6.45992E+11 4.7402E+12 5.38619E+12
7 21500 8820 21500 17610 18.5 0 0 162615 13215 2148957225 1.04703E+12 2.83985E+13 2.94455E+13
8 21500 17610 21500 21850 20.5 4 5884 110456 19730 2179296880 1.65478E+11 4.29975E+13 4.3163E+13
9 21500 21850 21500 24500 22.5 2 5884 71393 23175 1654532775 41779778542 3.83438E+13 3.83856E+13

10 21500 24500 14400 25112 22.5 7 10800 235942.37 24806 5852786413 7364233231 1.45184E+14 1.45192E+14
11 14400 25112 9900 25500 22.5 4 10800 144825.66 25306 3664958230 1816886219 9.27454E+13 9.27472E+13
12 9900 25500 9900 23740 20 1 3871 39071 24620 961928020 10085527467 2.36827E+13 2.36928E+13
13 9900 23740 14400 21142 12.5 5 3781 83856.429 22441 1881822122 47166474032 4.223E+13 4.22771E+13
14 14400 21142 17900 19142 13 4 6904 80020.675 20142 1611776443 26673558455 3.24644E+13 3.24911E+13
15 17900 19142 20500 17610 14 2 6904 56056.985 18376 1030103150 10963924029 1.89292E+13 1.89401E+13
16 20500 17610 21500 17610 12.5 0 0 12500 17610 220125000 0 3.8764E+12 3.8764E+12
17 21500 8820 20500 8820 12.5 0 0 12500 8820 110250000 0 9.72405E+11 9.72405E+11
18 20500 8820 18570 6790 13 2 3247 42907.462 7805 334892739.3 14734779943 2.61384E+12 2.62857E+12
19 18570 6790 16460 4760 15 3 3247 53660.529 5775 309889553.2 18427472722 1.78961E+12 1.80804E+12
20 16460 4760 14400 2700 16.5 3 3871 59682.119 3730 222614303.8 21105586677 8.30351E+11 8.51457E+11
21 14400 2700 8100 2700 19 6 3871 142926 2700 385900200 0 1.04193E+12 1.04193E+12
22 8100 2700 1800 2700 19 6 3871 142926 2700 385900200 0 1.04193E+12 1.04193E+12
23 1800 2700 0 2700 19 1 1779 35979 2700 97143300 0 2.62287E+11 2.62287E+11
24 14400 25112 14400 21142 12.5 0 0 49625 23127 1147677375 65177888542 2.65423E+13 2.66075E+13
25 1800 0 1800 2700 15 2 1779 44058 1350 59478300 26765235000 80295705000 1.07061E+11
26 8100 0 8100 2700 12.5 0 0 33750 1350 45562500 20503125000 61509375000 82012500000
27 14400 2700 14400 0 12.5 0 0 33750 1350 45562500 20503125000 61509375000 82012500000

Tdf 0 2700 0 2700 1 3500 3500 2700 9450000 0 25515000000 25515000000
Tf 0 0 0 0 1 3500 3500 0 0 0 0 0

2310163.8 25276273556 2.21383E+12 5.08921E+14 5.11135E+14

Area da Secao 4.620 m2

Altura da LN 10.941 m
ILN 469.16 m

4

Momento de Inercia
Painel

No i No j Esp. Perfis Alt CA
T

IP
O M. Estático

Area do
Painel



21

Page 22

(21500, 24500)

(21500, 21850)

(21500, 17610)

(21500, 8820)

(21500, 1940)

(19560, 0)(14400, 0)(8100, 0)(1800, 0)

(1800, 2700) (16460, 4760)

(18570, 6790)

(20500, 8820)

(0, 2700)

(0, 0)

(9900, 25500)

(14400, 21142)

(9900, 23740)

(14400, 25112)

(20500, 17610)

(17900, 19142)

1 2 3 4 5

6

7

8

9

10

11
12

13

14

15

16

17

20

19

18

212223
24

1 2 3 4

5

6 7 8

9 10 11

12

13

14

16

15

16

18

17
19

20

21

22

23
24

25

26





























Figura 16 – Coordenadas nodais dos tanques na Seção Mestra

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