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TitleNotacion Indicial
Tags Permutation Matrix (Mathematics) Theoretical Physics Functions And Mappings
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c.3) Notación indicial

Todas las relaciones (1.1-15) a (1.1-17) se pueden resumir en notación indicial con ayuda de dos símbolos espe-
ciales, conocidos como símbolos indiciales, y de los Convenios de notación indicial.

●Símbolos indiciales

Son la delta de Kronecker y los símbolos de permutación, que se definen así:

delta de Kronecker: (1.1- ###)

símbolos de permutación tridimensionales ijk son las signaturas de las permutaciones [ijk], que se

forman con los valores distintos de tres índices en el conjunto {1,2,3}, o sea:

ijk :=

1, si (i,j,k) es una permutaión par de (1,2,3)

1, si (i,j,k) es una permutación impar

0, si (i,j,k) repite alguno de sus índices



 


(1.1- ###)

Obsérvese:

1) para que ij  0 es necesario y suficiente que i = j, lo que permitirá efectuar operaciones con este símbolo.

Por ejemplo: pq xp = 1 xq = xq

2) para que ijk  0 los índices deben formar una permutación (no tener repeticiones), lo que, en el espacio,

reduce de 27 (= 33) a 6 (= factorial de 3 = 3!) la cantidad de ´s no nulos, y esto facilita su uso.

Ejemplo 1.1-.18. La propiedad de alternancia del producto mixto se puede enunciar con precisión y brevedad utili-
zando la distinción de los vectores mediante índices: si se denotan a1, a2, a3 los vectores factores, se tiene:
[ai, aj, ak] = ijk[a1, a2, a3] (1.1- ###)
cualquiera que sea la permutación {i, j, k} de los índices {1, 2, 3}.


●Convenios de notación indicial

Además de los símbolos indiciales la notación de Einstein, se basa en los siguientes convenios:

1) Convenio de introducción de los índices: Se utilizan subíndices (o superíndices) para distinguir tan-

to los vectores de cada base como las componentes de los mismos. Los índices son variables naturales valo-

radas en el conjunto {1,2,3} en el espacio, y en el conjunto {1,2} en el plano. Cada índice toma siempre

obligatoriamente sus tres valores (ó sus dos valores, en el plano) en cada expresión en que intervenga.

2) Convenio de los índices mudos o contraídos: Se suprimen los signos de sumatorio para resumir las

sumas, y se conviene en la simple repetición de un índice en dos factores de un mismo término7 para repre-

sentarlas. De modo que se denota:

(1.1- ###)

y siempre que un índice se repita en un mismo término se entenderá un sumatorio resumido. Los índices que

cumplen este papel en una expresión indicial, se llaman índices mudos, debido a que pueden cambiarse por

otro índice cualquiera (que no aparezca ya usado en la expresión) sin afectar al valor de la misma: o sea, viei


7 Se emplea la terminología clásica del álgebra de polinomios: se distinguen los miembros de una igualdad o ecuación; dentro de cada
miembro, se distinguen los términos, monomios o sumandos; y normalmente los términos son productos indicados, de manera que se
distinguen finalmente los factores de cada término o monomio.

ij

1 si i j

0 si i j


  



i = 3

i i i i
i = 1

v ve e

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es lo mismo que vheh o que vjej. También se llaman índices contraídos. Al dar valores a un índice mudo o

contraído, se deben dar los tres (o dos) valores posibles, sumando los resultados en el mismo miembro de la

igualdad; así

…+ pq xp + … = … + (1qx1+2qx2+3qx3) + …

y se observa que los índices mudos resumen sumas en un mismo miembro de una ecuación.

3) Convenio de los índices libres: El otro papel de los índices se presenta cuando se separa una igual-

dad por componentes, aplicando el teorema de unicidad de las mismas en cualquier base, como la {ei}:

u = v  u1 = v1 , u2 = v2 , u3 = v3  (en resumen) ui = vi

y los índices utilizados para el resumen no se repiten en un mismo término de la expresión, sino en todos los

términos de ambos miembros de una ecuación. Este tipo de índices se llama índices libres. Al dar cada valor

a un índice libre, debe sustituirse simultáneamente en todas sus apariciones, dando lugar a 3 ecuaciones dis-

tintas (o 2 ecuaciones en el plano) por cada índice libre: los índices libres resumen sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 1.1-.19. La expresión indicial yq = pq xp cuenta con un índice mudo, p, y otro libre, q, y resume tres ecua-
ciones distintas (al dar valores a q), en cuyos segundos miembros hay tres sumandos distintos (al dar sus tres valo-
res a p). La escritura íntegra de la expresión se llama la forma desarrollada de la expresión indicial original:

y1 = p1 xp = 11x1+21x2+31x3

y2 = p2 xp = 12x1+22x2+32x3

y3 = p3 xp = 13x1+23x2+33x3

Ejemplo 1.1-.20. Escribir la forma desarrollada de la expresión indicial: aij = ijk ck sabiendo que c es un vector de
componentes ck en una base ortonormal {e1, e2, e3}. Deducir la matriz A := [aij] con i = fila, j = columna.

Ejemplo 1.1-.21. El producto de dos matrices 3×3, A = [aij] y B = [bij] da como resultado otra matriz C = A·B cuyo
elemento genérico se puede describir cómodamente en notación indicial, porque resulta que, denotando C = [cij], se
cumple que cij es el producto matricial de la fila i-esima de A por la columna j-ésima de B, es decir:

cij = [ ai1 ai2 ai3 ] ·
1j

2j

3j

b
b
b

 
 
 
 
 

:= ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j = aihbhj

de manera que podemos decir:
C = A·B  cij = aih bhj (1.1- ###)

Se observa que el algoritmo del producto matricial, llamado “algoritmo fila  columna”, se formula en términos in-
diciales mediante una ecuación con dos índice libres, i y j, y un índice mudo o contraído, h. Puede decirse: el pro-
ducto de dos matrices consiste en contraer el índice de columnas del prefactor con el índice de filas del posfactor.
Naturalmente, sólo se pueden contraer índices que tengan el mismo conjunto o recorrido indicial.

Ejemplo 1.1-.22. Si A = [aij] 33 y B = [vi] 31, interpretar, en términos vectoriales de los vectores fila de A, el
producto matricial A·B, de la matriz A por el vector columna B. Misma cuestión, pero en términos de los vectores
columna de A. En cada caso los vectores se consideran en una base ortonormal dada {ei}.
solución: Llamando C := A·B  31 se tiene ci = aij vj , lo que se puede interpretar de dos modos compatibles, se-
gún se observe qué se hace con las filas o con las columnas del prefactor A:


1 j j1 11 1 12 2 13 3

2 2j j 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 33j j

a vc a v a v a v
c a v a v a v a v
c a v a v a va v

      
       
          

algoritmo filas (de A) por columna (B) (1.1- ###)


1j1 11 12 13

2 2j j 21 1 22 2 23 3

3 31 32 333j

ac a a a
c a v a v a v a v
c a a aa

        
           
        

         

 algmº. combinación lineal de columnas (de A) (1.1- ###)

Ejemplo 1.1-.23. Siendo A, B matrices 33, escribir en notación indicial los elementos genéricos cij y dij de los pro-
ductos matriciales: C = At·B, D = A·Bt.

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