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TitleMonografia de Ecuaciones Diferenciales Exactas
TagsDifferential Equations Derivative Equations Euclidean Vector Gradient
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“  “  AÑOAÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD
ALIMENTARIA”ALIMENTARIA”

Universidad Nacional de UcayaliUniversidad Nacional de Ucayali

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS Y DE FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS Y DE INGENIERIAINGENIERIA

CIVILCIVIL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVILESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

“ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS”“ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS”

 CATEDRÁTICO :CATEDRÁTICO : LIC. YONY HUAMAN.LIC. YONY HUAMAN.

 CURSO CURSO : : EUACIONES EUACIONES DIFERENCIALES.DIFERENCIALES.

 ALUMNO :ALUMNO : DIAZ PUYO, EROS.DIAZ PUYO, EROS.

PERU-UCAYALI-PUCALLPAPERU-UCAYALI-PUCALLPA

20132013

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La definición anterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial
es conservativo, pues involucra el hallar una función potencial. El siguiente
teorema nos facilitará esta tarea.

Teorema

De paso este teorema nos da la clave para construir la función potencial, como
veremos en el próximo ejemplo.

Ejemplo

El campo vectorial

Es conservativo, pues si

Sea un campo vectorial definido sobre una
región simplemente conexa y dado por

donde y tienen derivadas parciales de primer orden
continuas en , entonces es conservativo sí y sólo sí

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Definición (Ecuación diferencial exacta)

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la
forma

es exacta si el campo vectorial asociado

es conservativo.

Teorema
La solución general de la ecuación diferencial exacta

Está dada por , donde es la función potencial del

campo vectorial .

Demostración:

Comprobemos que es solución de la ecuación diferencial.

Suponiendo que es función de , derivamos implícitamente

Como es la función potencial del campo vectorial ,

Y , de donde

Como se quería.

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Método de solución

Para resolver una e.d. exacta es necesario determinar la derivada parcial

mediante:

Ejemplo

Tomemos como ejemplo la siguiente ecuación:

Forma general

Para que una e.d. sea exacta debemos determinar que la derivada

parcial con respecto a “x” y con respecto a “y” cumpla con la

siguiente forma:

Lo primero que hay que saber es si es exacta:

Ya que el resultado de ambas derivadas parciales es el mismo, decimos

que la ecuación es exacta.

NOTA. Hay que

recordar que M

va acompañada

de su dx y N de

su dy para luego

sacar sus

respectivas

derivadas

parciales.

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