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Modélisation de la transformation de biomatériaux par
un modèle de percolation

Hubert Mély

To cite this version:
Hubert Mély. Modélisation de la transformation de biomatériaux par un modèle de percolation.
Physique Nucléaire Expérimentale [nucl-ex]. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2011.
Français. �NNT : 2011CLF22135�. �tel-00672081v2�

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N d’Ordre : D.U. 2134 PCCF T 1103

UNIVERSITÉ BLAISE PASCAL
U.F.R. Sciences et Technologie

ÉCOLE DOCTORALE DES SCIENCES FONDAMENTALES

THÈSE

présentée pour obtenir le grade de

DOCTEUR D’UNIVERSITÉ
SPÉCIALITÉ : PHYSIQUE DES MATERIAUX

par

Hubert MELY

MODÉLISATION DE LA TRANSFORMATION DE
BIOMATÉRIAUX PAR UN MODÈLE DE PERCOLATION

Soutenue publiquement le 22 juin 2011, devant la commission d’examen :

Président : J.-M. NEDELEC
Examinateurs : S. INCERTI Rapporteur

P. LAQUERRIERE
J.-F. MATHIOT Directeur de thèse
A. MAZZOLO Rapporteur
D. SARRAMIA

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Figure 4.3: Transition entre phase de percolation et de non-percolation, pour R = 20
(ligne pointillée) et R = 400 (ligne continue), pour les trois situations (1),(2) et (3) et
pour le coefficient cs.

critiques q0c , p
0
c et la valeur critique pc = qc. Nous présentons les résultats dans le tableau

4.1 pour trois valeurs de R.

R (p0c , 1) (1, q
0
c ) (pc, qc)

20 0.58∗ 0.50∗ 0.74∗

200 0.60 0.50 0.74
400 0.60 0.50 0.74

Table 4.1: Paramètres critiques (p0c , 1) , (1, q
0
c ) et (pc, qc) pour différentes tailles R du

réseau. L’astérisque indique qu’il s’agit de valeurs moyennes sur les trois ci, qui sont
pour R = 20 différents d’environ ±0.01.

Nous présentons, sur les figures 4.4, 4.5, 4.6, les résultats obtenus pour chacun des trois
cas 1, 2, 3 ci-dessus, pour les coefficients cs, cl, csl et avec les trois valeurs R = 20, R = 200
et R = 400. Le nombre de simulations Ntir est de 1000 pour R = 20, 100 pour R = 200
et de 10 pour R = 400 pour des raisons de temps de calcul. Cependant la convergence
est suffisante dans les trois cas pour avoir une précision permettant une étude qualitative
de l’évolution des différents paramètres.

L’ensemble des résultats montre que pour une simulation avec R ≥ 200, il n’y a pas de
différence mesurable entre les variations de chacun des coefficients ci. Ceci indique que la
diffusion utilisée dans notre simulation correspond bien à un phénomène de percolation
avec une transition brusque pour les valeurs critiques des paramètres p et/ou q.

Pour les petites valeurs de R, ici 20, une différence apparait pour les petites valeurs de p
et/ou q. Nous expliquons ces différences de la manière suivante. Pour p petit, il y a peu
de sites activés et ils sont aléatoirement répartis sur tout le réseau, donc dispersés. Le

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s c c s
+

l

q

(a) (b) (c)

q q



s c c s
+

l

q

(a) (b) (c)

q q



s c c s
+

l

q

(a) (b) (c)

q q

Figure 4.4: Transition entre phase de non-percolation et phase de percolation pour la
situation (1), de haut en bas pour R = 20, R = 200 et R = 400. Avec cs en (a), cl en (b)
et cs+l en (c). L’abscisse correspond à la valeur de q.

49

Page 98

[34] J.L. Irigaray, H. Oudadesse H and T. Sauvage, Biotransformation of implanted coral
in some animals studied by neutron activation analysis J. Radioanal. Nucl. Chem.
244, 317 − 9, (2000).

[35] thèse de Thierry Sauvage, Etude par des methodes nucléaire d’analyse des transfor-
mations physico-chimiques du corail implanté ’in vivo’ (1992).

[36] Y. Barbotteau, J.L Irigaray et J.F. Mathiot, Phys. Med. Biol. 48, 3611, (2003) .

[37] S.R. Broadbent and J.M. Hammersley Percolation Processes, Proc. Camb. Phil. Soc.,
53629 − 41, (1957).

[38] D.J.A. Welsh, Percolation and related topics, Sci. Prog., Oxf. 64, 65 − 83, (1977).
[39] J.W. Essam Percolation theory, Rep. Prog. Phys., 43, 832 − 912, (1980).
[40] J.L. Irigaray and all, Structure study of coral implanted in vivo by nuclear activation

analysis and by X-ray diffraction,Nuclear Analytical Methods in the Life Sciences
International Congress of Gaithersburg, Maryland 17-21 April (USA, 1989).

[41] Jean-Marie Nedelec, communication privée, (2009).

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Résumé

Les biomatériaux interviennent dans de nombreuses applications médicales. La connaissance de leur
évolution une fois implantés dans l’organisme est primordiale pour les améliorer et en créer de nou-
veaux.

Dans cette optique, nous avons réalisé une modélisation à deux dimensions de la transformation d’un
biomatériau en os. Pour cette modélisation, nous utilisons la théorie de la percolation. Celle-ci traite
de la transmission d’information à travers un milieu où sont distribués un très grand nombre de sites
pouvant localement relayer cette information.

Nous présentons un modèle de double percolation sites-liens, pour prendre en compte d’une part la
vascularisation (et/ou résorption) du biomatériau de l’implant dans un os, et d’autre part sa continuité
mécanique.

Nous identifions les paramètres pertinents pour décrire l’implant et son évolution, qu’ils soient
d’origine biologique, chimique ou physique. Les différents phénomènes sont classés suivant deux régimes,
percolant ou non-percolant, qui rendent compte des phases avant et après vascularisation de l’implant.
Nous avons testé notre simulation en reproduisant les données expérimentales obtenues pour des implants
de corail. Nous avons réalisé une étude des différents paramètres de notre modèle, pour déterminer
l’influence de ceux-ci sur chaque phase du processus.

Cette simulation est aussi adaptable à différents systèmes d’implants. Nous montrons la faisabilité
d’une modélisation à trois dimensions en transposant la partie statique de notre simulation.

Mots clés : Biomatériau, Vascularisation, Résorption, Amas, Seuil de percolation.

Abstract

Biomaterials play an important role in many medical applications. To know how they evolve once
inserted in the human body is essential to improve them and to create new ones.

For this purpose, we have elaborated a two dimensional model for the transformation of biomaterial
into bone. For this model, we have used the percolation theory. This general theory accounts for the
transmision of information across an environment in wich a huge number of sites relay localy this piece
of information.

We present a double site-bond percolation model to account, on the one hand, for the vascular-
ization (and/or resorption) of biomaterial implant in bones and, on the other hand, for its mechanical
continuity.

We identify the relevant parameters to describe the implant and its evolution, and separate their
biological or chimical origin from their physical one. We classify the various phenomena in two regimes,
percolating or non-percolating, which concern the two stages before and after the vascularization of the
implant. We have tested our simulation by comparing them with experimental results obtained with
coral implants. We have studied how the various parameters of our model can influence each stage of the
process.

This simulation can also be applied to different types of implants. We show that a three dimensional
model is possible by transposing the static part of our simulation.

Keys words : Biomaterial, Vascularization, Resorption, Cluster, Percolation threshold.

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