Download Metodicka Zbirka Zadataka Sa Osnovama Teorije Iz Elementarne Matematike-Arslanagic-2006 PDF

TitleMetodicka Zbirka Zadataka Sa Osnovama Teorije Iz Elementarne Matematike-Arslanagic-2006
File Size4.5 MB
Total Pages176
Document Text Contents
Page 1

I
I

Dr. Sefket Arsianagic

" MET()DI€KA ZBIDKA ZADATAKA
SA ()SN()V AMA TE8RlllE IZ

ELEMENTARNE MATEMATIKE

Sarajevo, 2006.

Page 2

UNIVERZITETSKA KNJlGA

Aulor:
Df. Selket ARSLANAGfC, vanrcdni profcsor na Odsjcku zn malematiku

Prjrodno-m~lrcll1<1!ickog fakultcla Univerzitcta II Sarajevu

Izdavac:
Graficar prornct d.o.a, Sarajevo

RccclIzcnti:
Dr. Arif ZOLlC. do~enl na ~1;ltematickolll fakultettl univcrzitct<l \l Beogradu

Dr. Mehmcd NURKANOVTC. docent nll Prirodno-l1lafcma(jckol1l f,lkuitctn Univco:itcta u Tnz!i
Dr. Marinko PEJIt:. docent 11:J Pe(bgo~koj akadcmiji Univerzitcta u S:Jrajevll

Nas!ovna slran:.!:
Emin SEJFIC

DTP:
Daniela ZUBOVTC, dipJ. mntcmatic.aI"

Stal11pa:
Graficar promct d.D.a., S~\rajevo

Stampano u 500 primjeraka
2006. godinc

elF "a::'alogizacijll li pJblikaciji
i liuiv8n:it,;tSY.il bib~ioteka

Sa:Ci'.jc,vo

ARSLANAGIC, Sefket
t"etodic).;a zbirt::a

i;; eleQenta"';":Clj;~~"~~~~:
Sarajevo G p"-OIT.et,
ilus:-r. 24 em

Biljeska " autoru: str, ,351. ~ B':blicg~·Il£iJq uz
sva pO'J~ilvlja

ISBN 9958-9297---5

COB::SS BH-ID 146:;6294

Djelo je 711knnom zasticcno tc jc zabnmjeno svako kopinmje iJj umnozav<lnje
in n dijclovim<l u bilo kom obliku i na bila koji nacin bez pisll1cnc dozvo!c autora,

Neovlns!cnn urnnozavanje pred,Ulvlj<l kri\'icl1o djdo.

Supruzi Nadi i llafoj djeci Zaimu i E11lini

I

Page 88

TRI GEOMETRIJSKA DOKAZA NEJEDNAKOSTIIZMEDU ARITMETICKE
I GEOMETRIJSKE SREDINE DV A POZITIVNA BROJA

Nejednakost izmedu brojnih sredina (H -harmonijska, G -geometrijska,
A -aritmelicka. K -kvadratana):

gdje je

H

H$G5,ASK.

11

I I I '
-+-+ .. +-l/, (/2 a"

A::::: a J +a2 -I- •• +a/l

11

aJ +(lJ + ... +a~
11

(I)

gdje su (/1·a 2 ····,Q" pozitivni realni brojevi. igra veoma vaznu uJogu u matematici i

im~ veliku ~rimjenu kad rjesavanja raznih matematickih zadataka i problema. Dokaz
n~!edt1ak~)stI (I) u slucaju.kada imama 11 pozitivnih brojevaje nesto slozeniji, ali sc
Vise ra~lllh dokaza ove neJednakosti maze nati u matematickoj Iiteraturi. Recimo i to
cia 1I neJednakosti (I) vazi jednakost sarno u slucaju kada je Q 1 = a 2 ::::: ... = al] .

y OV(}~l clall~u eemo .se pozabaviti najspecijalnijim njenirn slucajem kada je
11 ::::: 2 . tJ. kada JC (uzecemo da Je a f ::: a, Q

2
::: b ):

H~_2_, G~,Jah; A~a+b, K~Ja2+b2
1",+1..' 2 2'
a b

tj.

(a,b>Ii),

174

Najvecll primjenu od ovih nejednakosti ima nejednakost izmedu aritmeticke i
geomctt"ijske sredine:

a+b> "b·' _ van.
2

(a,b >0), (2)

Algebarski dokaz ave nejednakosti je prilicno lagan i mi cerna ga ovdje dati. PoCicemo
od ocigledne nejednakosti

tj,

Hi

a odavde

Ie nakon dijeljenja sa 2 :

a~2.[;;h+h~().

11 +b ~ 2,Jah,

a+b r:
--2:: vab,

2
sa jednaknscll samo u s\uc.aju kada je a:::;:: b.
o ova] nejednakosti i njenoj prirnjeni pisano je puno u knjizi "Matematika za
nadarene" ovog autora pa Citaocima preporllcujemo da obratc paznju oa Ie clanke.

Ovdje eemo sad a dati Iri raznn geometrijska dokaza nejednakosti (2).

Dokaz 1. Mi eema koristiti cinjenicu da je u pravouglom trouglu visina na hipotenuzLI
jednaka geometrijskoj sredini hipotenuznih odsjecaka. Jpak cemo dati dokaz ovog
stava.

c

c
sLl

Neka je h duzina vi sine pravouglog trougla L1ABC povucena iz vrha C pravog ugJa
tog trougla cijc su duzine kateta a i b, a duzina hipotenuze je c. - -
Dalje, neka je AD ~ q i BD ~ P (p + q ~ C ) (51.1),

175

Page 89

Posta je MCD - LlBCD (jer LACD:::: LABC:::: p . Kao uglovi sa normalnim kracima.
ACl.CB i CDl.AB, te LADC::::: LBDC::::: Wl), to su stranice ovog troUghl
proporcionalne po I stavu 0 sIicnosti troug]ova pa imamo:

-- --
AD: CD= CD: BD.

tj.
q:h::::lt:p,

a odavde

[e

(3)

sto je i trebalo dokazati.

Dalje, posto je LC:::: 90°, to je centar opisane kruznice k trougla ABC srediste
njegovc hipotenuze (periferijski ugao nad precnikom kruga je pray) pa je poluprecnik

R . k" R / AB / ove oplsane 'rUZ11lce :::::; -::::: 2c.
Sa slike 1 je jasno da vrijedi nejednakost:

II ~ h . tj. zbog (3):

~c~fpq.
2

Predimo sada na dokaz ncjednakosti (2).

(4)

KonstruiSimo nad duzi AB = a + b (a i b date duzine, a > b) kao precnikom
poJukruznice k Giji je centar 0 (s1.2).

/~t·l~ ~ ./"~" ~ '"
/ / . " \

! / /1 '''',,\
V __ ~. "\
A a 0 D b B

sl.2

Neka je AD = a i Bf) = b . Ako iz tacke D konstruiscmo normaJu Dn do njenog
presjeka C sa polukruznicom k, tj. Dn (\k:::: {C} i spojimo tacku C sa tackama A i

B , dobijamo pravougli trougao LlABC (jer je LC = 90°).

176

Sadaje zbog (3):

Ij.

CD =.Jab .
Kako je AB::::: a + b , to je poiliprecnik pollikruznice k :

- J- a+b
OC=-AB=--.

2 2

Sada iz pravouglog trougla LlOCD zbog (4) dobijamo

ti·

SlO je i trebalo dokazati.

- -
OC~CD.

a +b "-,
-- 2' -vaD ,

2

Vrljedi jednakost sarno u slucaju kada je CD::::: OC. tj. kada se tacke 0 i D
podudaraju, odnosno kada je a:::: b (tada je MBC jednakokrako-pravougli).

Dokaz 2. Na krake pravog ugla LCAD

nanesimo odsjecke duzina AC = j;;

AD = Jh (s1.3) i konstruisimo simetralu AB
ugla LeAD, gdje je BClAC. Dalje, kroz
tacku D konstruisimo paralelu sa AC koja
sijece All u tacki F, a eB u tacki E .
Figura ADFBC se sastoji od dva
jednakokrako~pravougla trougla MDF i
MCB Ger LDAF=LAFD=LBFE=LFBE=4:f).
Sadaje

DF=AD=fb i BC=AC=-Ia.
Kako je

to imamo
/ J

P1ADF =-b 1 PdABC =-a. • 2 2

Sa slike 3. se jasno vidi da vrijedi nejednakost

PADFflC ~ PADEC ' tj.

sl.3

(5)

177

Page 175

SUMMARV

This book is intended for mathematics students who during their studies
take courses in Elementary Mathematics (Year I) and Methodology of Teaching
Mathematics (Year III), Also, the book can be used for classes in Euclidean
Geometry (Year II) course and Elementary Theory of Numbers course (Vear I),

This book consists of the following six chapters:
1. Algebra (Algebraic inequalities),
2. Geometry and analitical geometry,
3. Trigonometry,
4. Theory of numbers,
5. Problems of maximum and minimum in elementary mathematics,
6. Miscallenous.

In chapter one, the author is engaged in proving various sorts of algebraic
inequalities. Variuos inequalities are mentioned and used, like Mean inequality,
Cauchy-Buniakowski-Schwarz, Jensen, Huygens. Newton-Maclaurin and
Hadwiger-Finsler inequalities. These inequalites are often used in this chapter
during the process of proving some other inequalities. Many inequalities in this
chapter are proved in two or more different manners which we consideer extremly
important for eduation of students preparing to become mathematics teachers.

In chapter two which is dedicated to geometry, the author is dealing with
constructive exercises with help of ruler and pair of compasses, ruler itself and pair
of compasses itself. Also, there are proves of some theorems in connection to
triangle and some inequalities in connection to triangle as well. There are given
three geometric proves of inequalities of arithmetic and geometric means of three
positive numbers. At the end some significant theorems in geometry are proved by
using analitical geometry.

In chapter three there are given various proves of some trigonometric
ineaqualities and several different solutions for some trigonometric problems.
There are given some instructive examples of trigonometry applications in algebra
while solving equations, systems of equations and proving algebraic inequalities.
Also, there is number of various solutions for one interesting trigonometric
equation.

Chapter four is dedicated to the theory of numbers and there are some
articles dedicated to Great and Little Fermat theorems and Fermat number, one
criterion for division, solution of Diofantes equalities (non-linear) and Pel!
equation.

349

Page 176

The fifth chapter is dedicated to methods of finding extreme values of
functions using elementary processes. There are four methodes processed (basic
method theorem or method of principle, method of introduction of auxilliary angle,
inverse function method and method of indefinite coefficients). With every method
explained is given number of interesting examples (total 34) which makes th,is
chapter very interesting and useful. The advantage of elementary manners 10
fmding extreme values of functions is often evident and more efficient comparing
to use of differential calculus.

The sixth chapter contains various articles concemed with solving one
equation of third degree in several different manners, summ of degrees of natural
order numbers, harmonic numbers, mathematical induction and calculus of one
interesting limit.

Here should be mentioed that there is some minor intentional overlaping in
the text of the book, but it does not influence compactness and continuity of this
book.

I belie v that this book will help mathematics students and students of
technic<ll vocations with their Elementaary mathematics and Methodology of
teaching mathematics courses. In every manner it will impove the lilerature foull.d
in this area. With this book future teachers will improve and advance their
knowledge in expert and methodological sense which was the main aim of the
author of this book,

350

Sefket Arslanagic je roden 07.10.1942. g. u Trebinju, Tu je
zavrsio osnovnu skolu i gimnaziju. Diplomirao je na Prirodno-
matematickom fakultetu u Sarajevu, grupa matematika, juna
1967. Naueni stepen magistra stekao je u decembru 1982.
godine na Sveucilistu u Zagrebu. Doktorsku disertaciju ie
odbranio u februaru 1999. godine na Prirodno-matematickom
fakultetu u Sarajevu.

Radio je kao profesor matematike u Skolskom centru u Trebinju
od 1967. do pocetka 1993. godine kada je protjeran sa svojom
porodicom u Gmu Goru (Razaje). U periodu 1980.-1992. radio

je i kaa predavac matematike na Gradevinskom fakuftetu u Mostaru. Od marta 1993.
do kraja novembra 1993. boravia je u Danskoj kao prognanik gdje je u gradu Nyborgu
osnovao osnovnu skolu od I do VIII razreda za djecu bosanskih prognanika j izbjeglica.
Od decembra 1993. do avgusta 1996. boravio je sa porodicom kao prognanik u
Berlinu. Tu je doprinio otvaranju odjeljenja zavrsnih razreda bosanske gimnazije. Dvije
skolske godine je ucestvovao u radu Seminara za matematiku i njenu didaktiku pri
Matematickom institutu Humboldt Univerziteta u Berlinu i tokom 1995/96. skolske
godine drzao je predavanja iz odabranih oblasti matematike za nadarene ucenike efitne
berlinske gimnazije "Heinrich Hertz".

Od septembra 1996. do jula 1999. godine je radio u zvanju viseg asistenta na Odsjeku
za matematiku Prirodno-matematickog fakulteta u Sarajevu, a od jula 1999. godine do
danas u zvanju docenta, a zatim u zvanju vanrednog profesora gdje je predavao
Analizu I (dvije skolske godine), a stalno Metodiku nastave matematike i Elementarnu
matematiku, slo predaje i sada. Osam godina je predavao Matematiku I na Fakultetu
za saobracaj i komunikacije u Sarajevu. Danas predaje Matematiku na Farmaceutskom
fakultetu i Pedagoskoj akademiji u Sarajevu. Kao gostujuei profesor predaje vee os am
godina na Prirodno-matematickom fakultetu Univerziteta u Tuz!i i jednu godinu na
Nastavnickom fakultetu Univerziteta "Dzemal Bijedic" u Mostaru. BiD je i strucni
saradnik u Prvoj Bosnjackoj gimnaziji u Sarajevu (dvije godine) i u Drugoj sarajevskoj
gimnaziji (cetiri godine).

Sefket Arslanagic je objavio 30 naucnih radova iz oblasti geometrijskih i analitickih
nejednakosli i preko 270 strucnih radova iz matematike i njene metodike. Objavio je u
BiH j 18 knjiga iz matematike. Svoje naucne i strucne radove je objavljivao u
Njemackoj, Kanadi, Australiji, Maleziji, Svajcarskoj, Madarskoj, Ceskoj, Danskoj,
Rumuniji, Srbiji i ernoj Gori, Hrvatskoj, Sioveniji i Makedoniji.

Predsjednik je Sekcije za rad sa nadarenim ucenicima Udruzenja matematicara BiH,
urednik je casopisa "Triangle" za ucenike i nastavnike osnovnih i srednjih skola, clan je
redakcije slovenackog casopisa "Matematika v soli", direktor Ljetne skole mladih
matematieara Modrac. Glan je uredivackog odbora nauenog casopisa "Octogon-
Mathematica! Magazine" iz Rumunije. Godinama radi sa nadarenim ueenicima za
matematiku u BiH koji su od 1997. do 2005. godine osvoji!i 18 medalja i to 2 srebrene i
16 bronzanih na Medunarodnim maiematickim oJimpijadama.

351

Similer Documents