Download MEF - Metoda Elementelor Finite - Pantel & Bia - FEM - Finite Element Method PDF

TitleMEF - Metoda Elementelor Finite - Pantel & Bia - FEM - Finite Element Method
File Size18.3 MB
Total Pages251
Table of Contents
                            COPERTA.EUGEN.PANTEL.METODA ELEMENTELOR.FINITE_OPT
EP&CB-MEFptStrDeRezistenta-2009-250pp
                        
Document Text Contents
Page 2

Cuprins

Prefaţă 9

1 Ecuaţiile şi principiile Mecanicii mediilor deformabile
(MMD) 13

1.1 Modele şi metode de calcul ı̂n Mecanica mediilor deformabile . 13

1.2 Mărimile şi ecuaţiile generale ale stării de solicitare a corpurilor 16

1.2.1 Starea de deformare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2 Starea de tensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Legi constitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.4 Mărimi energetice ı̂n studiul solidelor deformabile . . . . 20

1.2.5 Formularea problemelor de calcul al structurilor . . . . 22

1.3 Principii variaţionale şi teoreme energetice . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 Principiile lucrului mecanic virtual . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2 Teorema de minim a energiei potenţiale totale . . . . . 26

2 Noţiuni de bază ale metodei elementelor finite (MEF) 29

2.1 Generalităţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Scurt istoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2 Conceptul fundamental al MEF. Elemente finite
şi noduri. Tipuri de formulări . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Formulări şi operaţii fundamentale ale MEF . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Formulare prin metoda directă . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2 Formularea variaţională a MEF . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.3 Semnificaţia şi proprietăţile matricii de rigiditate
elementale k


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.4 Asamblarea matricei de rigiditate globale R


şi

a vectorului forţe nodale echivalente P


al structurii . . . 54

2.2.5 Introducerea condiţiilor restrictive ı̂n deplasări . . . . . 60

5

Page 125

128 Capitolul 3

care ı̂nlocuită ı̂n prima ecuaţie dă, după aranjarea termenilor:

[

k


0 − k


0c k


−1
c k



t
0c

]

d


0 =
[

p


0 − k


0c k


−1
c p


c

]

sau
k


∗ d


0 = p




ı̂n care
k


∗ = k


0 − k


0c k


−1
c k



t
0c (3.23.a)

este matricea de rigiditate condensantă a elementului, iar

p


∗ = p


0 − k


0c k


−1
c p


c (3.23.b)

este vectorul forţe nodale al elementului, după condensare statică.
După rezolvarea sistemului de ecuaţii global al structurii, valorile de-

plasărilor d


c rezultă din (3.22).

Algoritmul de eliminare descris este utilizat şi ı̂n calculele care folosesc
substructurarea.

Există formulări pentru EF care folosesc polinoame de gradul patru
(30 GL/element) sau polinoame de gradul cinci (42 GL/element). Câmpul
deplasărilor este mai bine aproximat dar dimensiunile mari ale matricilor,
ale sistemului de ecuaţii şi numărul mare de operaţii, impun utilizarea unor
calculatoare cu mare capacitate de memorare şi viteză mare de lucru.

3.2.5 Integrare numerică Gauss

Figura 3.11.

Pe măsura creşterii gradului poli-
noamelor de interpolare, integrarea ana-
litică a expresiilor unor termeni care
apar ı̂n formulare devine din ce ı̂n ce
mai dificilă. Din acest motiv, algoritmii
utilizaţi ı̂n MEF apelează la procedee de
integrare numerică, numite şi cuadraturi
numerice.

Conceptul integrării numerice este
binecunoscut bazându-se pe interpreta-

rea geometrică a integralei:

∫ xb

xa

f(x)dx,

reprezintă aria suprafeţei mărginită de curba f(x), axa absciselor şi dreptele
x = xa, x = xb (figura 3.11).

Page 126

Stări de solicitare plane 129

O evaluare aproximativă a acesteia poate fi făcută după cum urmează
(figura 3.11):

- se ı̂mparte domeniul x ∈ [xa, xb] ı̂n intervale, să admitem egale

- se aproximează curba pe un interval cu o dreaptă

- se calculează ariile trapezelor şi se adună.

Desigur aproximarea liniară este cea mai simplă, dar poate nu cea mai
potrivită. Folosirea unor curbe de interpolare de ordin superior creşte precizia
rezultatelor; acelaşi lucru poate fi obţinut şi prin ı̂ndesirea reţelei, adică prin
creşterea numărului de intervale pe domeniu.

Aproximarea funcţiei pe un domeniu cu n puncte echidistante se poate
face cu un polinom de grad n − 1, care apoi este integrat. Rezultă că, pentru
polinoamele de grad mai mic decât n, rezultatul cuadraturii este exact.

În rezolvările cu MEF se foloseşte aproape exclusiv metoda de integrare
numerică Gauss. În deducerea relaţiilor aproximative de integrare, punctele
unde se evaluează funcţia nu mai sunt echidistante ci astfel poziţionate ı̂ncât
eroarea la evaluarea cuadraturii să fie minimă. Pentru un număr de n puncte
pe un domeniu, integrala este exactă pentru polinoame de grad mai
mic sau egal cu 2n − 1.

Pentru probleme unidimensionale, formula de cuadratură gaussiană pen-
tru un domeniu [xa, xb] cu originea pentru ξ la mijlocul segmentului este (figura
3.12):

I1 =

∫ xb

xa

f(x)dx =
xb − xa

2

n∑

i=1

wif(ξi) (3.24)

Figura 3.12. Integrare numerică Gauss

Page 250

BIBLIOGRAFIE 253

[12] Timoshenko, St. P., ş.a. - Teoria plăcilor plane şi curbe, Editura Tehnică,
Bucureşti, 1968

[13] Bathe, K.J., Wilson, E.L. - Numerical Methods in Finite Element Analy-
sis, Prentice-Hall, Inc., 1976

[14] Brebia, C.A., Connor, J.J. - Fundamentals of Finite Element Technique,
Butterworth & Co Ltd., 1973

[15] Cook, R.D. - Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John
Wiley & Sons Inc., New York, 1974

[16] Desai, C., Abel, J. - Introduction to the Finite Element Method, Van
Nostrand Reinhold Comp., New York, 1972

[17] Gallagher, R.H. - Finite Element Analysism Prentice-Hall Inc., Engle-
wood Cliffs, 1975

[18] Holland, I., Bell, K. ed. - Finite Element Methods in Stress Analysis, Tapir
Forlag, Trondheim, Norway, 1970

[19] Irons, B., Sohrab, A. - Techniques of Finite Elements, John Wiley & Sons
I., New York, 1980

[20] Karamanski, T.D. - Cislenn̂ıie metod̂ı stroitelnoi mehanicki, Stroizdat,
Moskva, 1981

[21] Norrie, D., de Vries, G. - The Finite Element Method, Academic Press,
New York, London, 1973

[22] Przmieniecki, J.S. - Theory of Matrix Structural Analysis, Mc Graw-Hill
Book Comp., New York, 1968

[23] Postnov, V.A. - Cislenn̂ıie metod̂ı rasciota, Sudostronie, Leningrad, 1977

[24] Rao, S.S. - The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press,
Oxford/New York/Paris, 1982

[25] Richards, T.H. - Energy Methods in Stress Analysis, John Wiley & Sons
Inc., New York/London, 1977

[26] Segerlind, J.L. - Applied Finite Element Analysis, John Wiley & Sons
Inc., New York/London, 1976

Page 251

254 BIBLIOGRAFIE

[27] Zienkiewicz, O.C. - The Finite Element Method in Engineering Science,
McGraw Hill London, 1971

[28] Washizu, K. - Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon
Press, Oxford/London/New York, 1968

[29] Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L. - The Finite Element Method for Solid
and Structural Mechanics, Elsevier, Oxford, 2005

[30] Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., Zhu, J.Z. - The Finite Element Method:
Its Basis and Fundamentals, Elsevier, Oxford, 2005

[31] Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E. - Concepts and Applications of
Finite Element Method, Wiley, New York, 1989

[32] Rao, S.S. - The Finite Element Method in Engineering, Elsevier, New
York, 2005

[33] Fish, J., Belytschko, T. - A First Course in Finite Elements, Wiley, Chi-
chester, England, 2007

[34] Hughes, T.J.R. - The Finite Element Method, Prentice, New Jersey, 1987

[35] Panţel E., Bia C. - Metode numerice ı̂n proiectare - METODA ELEMEN-
TELOR FINITE - AM UTC-N, Cluj-Napoca, 1992

Similer Documents