Download materi-trigonometri.pdf PDF

Titlemateri-trigonometri.pdf
File Size366.8 KB
Total Pages17
Document Text Contents
Page 1

1 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

TRIGONOMETRI










A Nilai Perbandingan Trigonometri

Perhatikan segitiga berikut !



Y





r y



X

O x



Sin =
r

y


Cos =
r

x


Tan =
x

y


Cosec =
y

r


Sec =
x

r


Cotan =
y

x


Selanjutnya nilai perbandingan trigonometri suatu sudut segitiga dapat ditentukan dengan

menggunakan daftar / tabel dan kalkulator.





B Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Perhatikan gambar berikut !





45 60

2 1 2 1



45 30

1 3



Sin 30 =
2

1




Sin 45 =
2

1
2

Sin 60 =
2

1
3

Cos 30 =
2

1
3

Cos 45 =
2

1
2

Cos 60 =
2

1


Tan 30 = 3

Tan 45 = 1

Tan 60 = 3



Tabel Nilai Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Istimewa







0 30 45 60 90

Sin 0

2

1


2

1
2

2

1
3



1

Cos 1

2

1
3


2

1
2

2

1


0

Tan 0
3

1 3







PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 1

Page 2

2 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

C Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

a. Kuadran I (0 < < 90 )

Sin (90 - ) = Cos

Cos (90 - ) = Sin

Tan (90 - ) = Cotan

Cosec (90 - ) = Sec

Sec (90 - ) = Cosec

Cotan (90 - ) = Tan



b. Kuadran II (90 < < 180 )

Sin (90 + ) = Cos

Cos (90 + ) = - Sin

Tan (90 + ) = - Cotan

Cosec (90 + ) = Sec

Sec (90 + ) = - Cosec

Cotan (90 + ) = - Tan



c. Kuadran II (90 < < 180 )

Sin (180 - ) = Sin

Cos (180 - ) = - Cos

Tan (180 - ) = - Tan

Cosec (180 - ) = Cosec

Sec (180 - ) = - Sec

Cotan (180 - ) = - Cotan



d. Kuadran III (180 < < 270 )

Sin (180 + ) = - Sin

Cos (180 + ) = - Cos

Tan (180 + ) = Tan

Cosec (180 + ) = - Cosec

Sec (180 + ) = - Sec

Cotan (180 + ) = Cotan



e. Kuadran III (180 < < 270 )

Sin (270 - ) = - Cos

Cos (270 - ) = - Sin

Tan (270 - ) = Cotan

Cosec (270 - ) = - Sec

Sec (270 - ) = - Cosec

Cotan (270 - ) = Tan



f. Kuadran IV (270 < < 360 )

Sin (270 + ) = - Cos

Cos (270 + ) = Sin

Tan (270 + ) = - Cotan

Cosec (270 + ) = - Sec

Sec (270 + ) = Cosec

Cotan (270 + ) = - Tan



g. Kuadran IV (270 < < 360 )

Sin (360 - ) = -Sin

Cos (360 - ) = Cos

Tan (360 - ) = -Tan

Cosec (360 - ) = - Cosec

Sec (360 - ) = Sec

Cotan (360 - ) = - Cotan



h. Kuadran IV (270 < < 360 )

Sin (- ) = - Sin

Cos (- ) = Cos

Tan (- ) = - Tan

Cosec (- ) = - Cosec

Sec (- ) = Sec

Cotan (- ) = - Cotan

Pada sistem koordinat kartesius dapat digambarkan sebagai berikut :

Y

Sin : + Sin : +

Cos : - Cos : +

Tan : - Tan : +



O X

Sin : - Sin : -

Cos : - Cos : +

Tan : + Tan : -



Contoh:

(i) Sin 65 = Cos (90 – 65) = Cos 25

(ii) Cos 120 = Cos (180 – 60) = - Cos 60 = -

(iii) Tan 210 = Tan (180 + 30) = Tan 30 =

(iv) Sin 315 = Sin (360 – 45) = - Sin 45 = -

(v) Cos (-60) = Cos 60 =

Page 8

8 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

4. Jika Tan =
4

3
dan Tan =

15

8
, untuk dan sudut lancip, hitunglah nilai :

a. Sin ( )

b. Cos ( )

c. Tan ( )

Jawab:

Tan =
4

3
Sin =

5

3
; Cos =

5

4


Tan =
15

8
Sin =

17

8
; Cos =

17

15


a. Sin ( ) = Sin . Cos Cos . Sin

=
5

3
.
17

15


5

4
.
17

8
=

85

13

85

32

85

45


b. Cos ( ) = Cos . Cos + Sin . Sin

=
5

4
.
17

15
+

5

3
.
17

8
=

85

84

85

24

85

60


c. Tan ( ) =
.TanTan1

TanβTanα


=
84

13

60

84
60

13

60

24
1

60

3245

15

8
.

4

3
1

15

8

4

3





5. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai dari Sin 15
o
!

Jawab:

Sin 15
o
= Sin (45

o
– 30

o
)

= Sin 45
o
. Cos 30

o
Cos 45

o
. Sin 30

o


=
2

1
2 .

2

1
3

2

1
2 .

2

1


= 2
4

1
6

4

1


= )26(
4

1




6. Tanpa menggunakan tabel, tentukan nilai Cos 56
o
+ Sin 56

o
.Tan 28

o
!

Jawab:

Cos 56
o
+ Sin 56

o
.Tan 28

o
= Cos 56

o
+ Sin 56

o
.

28 Cos

28Sin


=
28

28.Sin 56Sin + 28.56 Cos

Cos

Cos


= 1
28

28

28

)2856(

Cos

Cos

Cos

Cos






B Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Rumus – rumus :

1. Sin 2 = 2.Sin . Cos

2. Cos 2 = Cos
2

- Sin
2



= 2 Cos
2

- 1

= 1 – 2 Sin
2



3. Tan 2 =

Page 9

9 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

Contoh:

1. Nyatakan Sin 3 ke dalam Sin !

Jawab:

Sin 3 = Sin (2 + )

= Sin 2 . Cos + Cos 2 . Sin

= 2.Sin . Cos . Cos + (Cos
2

- Sin
2

) .Sin

= 2.Sin . Cos
2

+ Sin . Cos
2

- Sin
3



= 3. Sin . Cos
2

- Sin
3



= 3. Sin (1 – Sin
2

) - Sin
3



= 3. Sin - 3. Sin
3

- Sin
3



= 3. Sin - 4 Sin
3



2. Dengan menggunakan Sin 60
o
=

2

1
3 , buktikan bahwa Sin 180

o
= 0 !

Jawab:

Sin 180
o
= Sin (3 . 60

o
)

Berdasarkan hasil contoh 1:

Sin 180
o
= 3. Sin 60

o
– 4 . Sin

3
60

o


= 3 (

2

1
3 ) – 4 (

2

1
3 )

3

=
2

3
3 - 4 (

8

3
3 )

=
2

3
3 -

2

3
3 = 0

3. Jika Sin =
5

4
dan terletak di kuadrat ke-1, tentukan nilai dari yang berikut ini !

a. Sin 2 b. Cos 2 c. Tan 2

Jawab:

Sin =
5

4
Cos =

5

3
dan Tan =

3

4


a. Sin 2 = 2.Sin . Cos = 2.
5

4
.
5

3
=

25

24


b. Cos 2 = Cos
2

- Sin
2

= (
5

3
)
2
– (

5

4
)
2
=

25

7

25

16

25

9


c. Tan 2 =
αTan1

2.Tanα
2

=
7

24

7

9

3

8

9

7
3

8

9

16
1

3

8

3

4
1

3

4
2

2




C Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Rumus – rumus :

1. 2 Sin Cos = Sin ( + ) + Sin( - )

2. 2 Cos Sin = Sin ( + ) - Sin( - )

3. 2 Cos Cos = Cos ( + ) + Cos( - )

4. 2 Sin Sin = Cos( - ) - Cos ( + )


Contoh:

1. Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk selisih atau jumlah !

a. 2.Sin 3 .Cos 2 c. 2.Sin 60
o
.Cos 30

o


b. Cos 8 .Cos 2 d. Cos 105
o
.Cos 15

o


Jawab:

a. 2 Sin 3 Cos 2 = Sin (3 + 2 ) + Sin (3 - 2 )

= Sin 5 + Sin

Page 16

16 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

Contoh:

1. Tentukan k dan dari : -Cos x + Sin x !
Jawab:

-Cos x + Sin x = k Cos (x - )

a = -1 ; b = 1

k = b a
22

= 2)1()1(
22



Tan =
a

b
= 1

1

1
( di kuadran II)

= 135
o


Jadi, -Cos x + Sin x = 2 Cos (x - 135
o
)

2. Tentukan k dan dari : 8 Cos x + 6 Sin x !
Jawab:

8 Cos x + 6 Sin x = k Cos (x - )

a = 8 ; b = 6

k = b a
22

= 1010068
22



Tan =
a

b
=

4

3

8

6
( di kuadran I)

= 36,89
o


Jadi, 8 Cos x + 6 Sin x = 10 Cos (x – 36,89
o
)

3. 3) Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x + Sin x =
2

1
2 ; 0 x 360 !

Jawab:

Cos x + Sin x =
2

1
2

a = 1 ; b = 1

k = b a
22

= 211
22



Tan =
a

b
= 1

1

1
( di kuadran I)

= 45
o


Cos x + Sin x = k Cos (x - )

2 Cos (x - 45
o
) =

2

1
2

Cos (x - 45
o
) =

2

1

2

2
2

1



Cos (x - 45
o
) = Cos 60

o




(i) x1 - 45
o
= 60

o
+ k.360

o


x1 = 105
o
+ k. 360

o


k = 0 x1 = 105
o




(ii) x2 - 45
o
= -60

o
+ k.360

o


x2 = -15
o
+ k. 360

o


k = 1 x2 = 345
o

HP = {105
o
, 345

o
}

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari Cos x - 3 Sin x = 1 ; 0 x 360 !

Jawab:

Cos x - 3 Sin x = 1

a = 1 ; b = - 3

k = b a
22

= 231)3(1
22



Tan =
a

b
= 3

1

3
( di kuadran IV)

= 300
o

Page 17

17 SMK Negeri 1 Kandeman Kab. Batang

Cos x - 3 Sin x = k Cos (x - )
2 Cos (x – 300

o
) = 1

Cos (x – 300
o
) =

Cos (x – 300
o
) = Cos 60

o




(i) x1 - 300
o
= 60

o
+ k.360

o


x1 = 360
o
+ k. 360

o


k = 0 x = 360
o




(ii) x2 - 300
o
= -60

o
+ k.360

o


x2 = 240
o
+ k. 360

o


k = 0 x = 240
o

HP = { 240
o
, 360

o
}













Latihan 6


1. Buktikan : Sec A – Cos A = Tan A . Sin A !

2. Buktikan : Sec
2
x(1 – Sin

4
x) – 2 Sin

2
x = Cos

2
x !

3. Tentukan himpunan penyelesaian Sin x = untuk 0 x 360 !

4. Diketahui Cos x = untuk 0 x 360 . Tentukan himpunan penyelesaiannya !

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari Tan x = untuk 0 x 2 !

6. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 360 !

a. 2 Sin 2x = b. Cos 2x = c. Tan 3x = -1

7. Tentukan penyelesaian dari Tan x = 1 untuk 0 x 2 !

8. Tentukan penyelesaian persamaan berikut untuk untuk 0 x 360 !
a. Sin (60

o
+ x) – Sin (60

o
– x) = 1

b. Sin 5x – Sin x = 0
c. Cos 4x – Cos 2x = 0

9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x - Sin x untuk 0 x 360 !

10. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan Sin
2
x + Sin x – 2 = 0 untuk 0 x 360 !

Similer Documents