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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO–MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS ELEMENTALES
PUEBLA, PUE., OTOÑO DE 2010
(rev. 6 de mayo de 2015)
Page 2
A esa
de quien olvid�e sus generales
pero recuerdo sus particulares
Page 141
136 CAPÍTULO 3. NÚMEROS REALES
todos los números naturales. El método puede resumirse del siguiente mo-
do:
“Sea P (n) una propiedad de la que tiene sentido preguntarse si la cumplen
o no los números naturales (o sea, una proposición abierta en N). Para
demostrar que es verdadera la proposición
∀n ∈ N : P (n),
fijémonos primero en aquellos números naturales que satisfacen tal pro-
piedad. Llamemos A, por ejemplo, a tal subconjunto de N. En seguida hay
que probar que A es inductivo, lo que probaŕıa de inmediato que N ⊆ A.
Como partimos con A ⊆ N resultaŕıa que A = N, es decir, los naturales
que hacen verdadera la proposición P (n) son todos los naturales, ¡valga
la expresión!. En resumen:
∀n ∈ N : P (n) es verdadera
es verdadera”. �
Debemos observar que éste es un método para deducir y no para in-
ducir. Su mal puesto nombre de inducción se debe quizá a que muchas
proposiciones del tipo ‘∀n ∈ N : P (n)’ son conjeturadas por los ma-
temáticos mediante algún razonamiento inductivo, de esos que sirven para
engendrar sentencias generales a partir de unos cuantos casos particulares.
Un ejemplo t́ıpico es el siguiente:
De la observación de que:
1 + 2 = 3 = 2×3
2
1 + 2 + 3 = 6 = 3×4
2
1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4×5
2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 5×6
2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = 6×7
2
,
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3.5. LOS NÚMEROS NATURALES 137
se conjetura que
∀n ∈ N : 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =
n(n+ 1)
2
(3.1)
En este caso la proposición abierta P (n) es
1 + 2 + 3 + · · ·+ n =
n(n+ 1)
2
(3.2)
Es erróneo pensar que una proposición del tipo ‘∀n ∈ N : P (n)’ es
verdadera sólo porque P (n) es verdadera para un número finito de valores
de n y no conozcamos ningún valor de n que la haga falsa. Por ejemplo,
sustituyendo n sucesivamente en la expresión 991n2 + 1, por los números
1, 2, 3, . . . , no se obtiene un número que sea un cuadrado perfecto (el
cuadrado de algún número natural), aun dedicandole años a este cálculo.
Sin embargo, si de esto se concluyera que todos los números de esta forma
no son cuadrados perfectos (o sea, la veracidad de ‘∀n ∈ N : 991n2 + 1
no es cuadrado perfecto’), se caeŕıa en un error porque algunos números
de la forma 991n2 + 1 śı son cuadrados perfectos, pero el menor valor de
n para el que esto sucede es:
n = 12, 055, 735, 790, 331, 359, 447, 442, 538, 767.
¡Qué horror! ¿verdad?.
Creemos que nuestros lectores a estas alturas del curso consideran ya
verdad de perogrullo la necesidad de la prueba rigurosa para aceptar la
veracidad de las proposiciones lógicas. En el caso de las proposiciones del
tipo ‘∀n ∈ N : P (n)’, el método de inducción matemática resulta de un
valor gigantesco que nos evita tener que comprobar que P (n) es verdadera
al sustituir uno por uno cada natural, en vez de la variable n.
No es uno de los objetivos de este curso entrenar al estudiante en el
uso de este método. Ya llevará cursos más adecuados para ello. Sólo lo
usaremos para probar otras propiedades de los números naturales que
no deben pasar desapercibidas, como el hecho de que N es un conjunto
cerrado bajo la suma y el producto. Expĺıcitamente:
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276 CAPÍTULO 4. FUNCIONES
Ejercicios 10.
1. Dibuje una recta horizontal y una recta vertical que pase por el
punto (2, 5).
a) ¿Cuál es la ecuación de la recta horizontal y cuál la de recta
vertical?
b) La ecuación de la recta vertical ¿representa una función?, ¿por
qué?
c) La ecuación de la recta horizontal ¿representa una función?,
¿por qué?
2. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas f , encuentre
Im f y A ⊆ R tal que f |A tenga inversa. Calcule (f |A)
−1
.
a) f(x) = −x2 + 3.
b) f(x) = x2 + 6x− 16.
c) f(x) = 2x2 + 7x− 15.
d) f(x) = −2x2 + 11x− 12.
3. Dadas las funciones f, g : R → R por
f(x) =
x− 7 si x ≤ −4
x2 + 1 si − 4 < x < 4
x2 − 4x+ 3 si x ≥ 4
y
g(x) =
{
x3−2x2
x−2 si x > 2
−x2 + 5 si x ≤ 2
calcular f + g, f · g, f ◦ g y f
g
.
4. Dibuje las gráficas de
a) f(x) = |2x+ 5|.
b) f(x) = | − 6x− 5|.
c) f(x) = |x|+ x.
d) f(x) = |x||x− 1|.
e) f(x) = x− [x] + 1.
f ) f(x) = [x] + [−x] + 1.
5. En los ejercicios 4 (c) y 4 (f) dé respuestas a las siguientes preguntas
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4.11. ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES 277
a) ¿es f inyectiva?
b) ¿es f suprayectiva?
c) ¿∃A ⊆ R tal que f |A sea biyectiva?, si la respuesta es afirma-
tiva, diga quien es A y calcule (f |A)
−1
.
6. ¡¡Ya Basta!! se apresura a decir Don Próspero Torres y aclara que
ya hemos logrado nuestro . . .
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO–MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS ELEMENTALES
PUEBLA, PUE., OTOÑO DE 2010
(rev. 6 de mayo de 2015)
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A esa
de quien olvid�e sus generales
pero recuerdo sus particulares
Page 141
136 CAPÍTULO 3. NÚMEROS REALES
todos los números naturales. El método puede resumirse del siguiente mo-
do:
“Sea P (n) una propiedad de la que tiene sentido preguntarse si la cumplen
o no los números naturales (o sea, una proposición abierta en N). Para
demostrar que es verdadera la proposición
∀n ∈ N : P (n),
fijémonos primero en aquellos números naturales que satisfacen tal pro-
piedad. Llamemos A, por ejemplo, a tal subconjunto de N. En seguida hay
que probar que A es inductivo, lo que probaŕıa de inmediato que N ⊆ A.
Como partimos con A ⊆ N resultaŕıa que A = N, es decir, los naturales
que hacen verdadera la proposición P (n) son todos los naturales, ¡valga
la expresión!. En resumen:
∀n ∈ N : P (n) es verdadera
es verdadera”. �
Debemos observar que éste es un método para deducir y no para in-
ducir. Su mal puesto nombre de inducción se debe quizá a que muchas
proposiciones del tipo ‘∀n ∈ N : P (n)’ son conjeturadas por los ma-
temáticos mediante algún razonamiento inductivo, de esos que sirven para
engendrar sentencias generales a partir de unos cuantos casos particulares.
Un ejemplo t́ıpico es el siguiente:
De la observación de que:
1 + 2 = 3 = 2×3
2
1 + 2 + 3 = 6 = 3×4
2
1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4×5
2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = 5×6
2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 = 6×7
2
,
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3.5. LOS NÚMEROS NATURALES 137
se conjetura que
∀n ∈ N : 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =
n(n+ 1)
2
(3.1)
En este caso la proposición abierta P (n) es
1 + 2 + 3 + · · ·+ n =
n(n+ 1)
2
(3.2)
Es erróneo pensar que una proposición del tipo ‘∀n ∈ N : P (n)’ es
verdadera sólo porque P (n) es verdadera para un número finito de valores
de n y no conozcamos ningún valor de n que la haga falsa. Por ejemplo,
sustituyendo n sucesivamente en la expresión 991n2 + 1, por los números
1, 2, 3, . . . , no se obtiene un número que sea un cuadrado perfecto (el
cuadrado de algún número natural), aun dedicandole años a este cálculo.
Sin embargo, si de esto se concluyera que todos los números de esta forma
no son cuadrados perfectos (o sea, la veracidad de ‘∀n ∈ N : 991n2 + 1
no es cuadrado perfecto’), se caeŕıa en un error porque algunos números
de la forma 991n2 + 1 śı son cuadrados perfectos, pero el menor valor de
n para el que esto sucede es:
n = 12, 055, 735, 790, 331, 359, 447, 442, 538, 767.
¡Qué horror! ¿verdad?.
Creemos que nuestros lectores a estas alturas del curso consideran ya
verdad de perogrullo la necesidad de la prueba rigurosa para aceptar la
veracidad de las proposiciones lógicas. En el caso de las proposiciones del
tipo ‘∀n ∈ N : P (n)’, el método de inducción matemática resulta de un
valor gigantesco que nos evita tener que comprobar que P (n) es verdadera
al sustituir uno por uno cada natural, en vez de la variable n.
No es uno de los objetivos de este curso entrenar al estudiante en el
uso de este método. Ya llevará cursos más adecuados para ello. Sólo lo
usaremos para probar otras propiedades de los números naturales que
no deben pasar desapercibidas, como el hecho de que N es un conjunto
cerrado bajo la suma y el producto. Expĺıcitamente:
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276 CAPÍTULO 4. FUNCIONES
Ejercicios 10.
1. Dibuje una recta horizontal y una recta vertical que pase por el
punto (2, 5).
a) ¿Cuál es la ecuación de la recta horizontal y cuál la de recta
vertical?
b) La ecuación de la recta vertical ¿representa una función?, ¿por
qué?
c) La ecuación de la recta horizontal ¿representa una función?,
¿por qué?
2. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas f , encuentre
Im f y A ⊆ R tal que f |A tenga inversa. Calcule (f |A)
−1
.
a) f(x) = −x2 + 3.
b) f(x) = x2 + 6x− 16.
c) f(x) = 2x2 + 7x− 15.
d) f(x) = −2x2 + 11x− 12.
3. Dadas las funciones f, g : R → R por
f(x) =
x− 7 si x ≤ −4
x2 + 1 si − 4 < x < 4
x2 − 4x+ 3 si x ≥ 4
y
g(x) =
{
x3−2x2
x−2 si x > 2
−x2 + 5 si x ≤ 2
calcular f + g, f · g, f ◦ g y f
g
.
4. Dibuje las gráficas de
a) f(x) = |2x+ 5|.
b) f(x) = | − 6x− 5|.
c) f(x) = |x|+ x.
d) f(x) = |x||x− 1|.
e) f(x) = x− [x] + 1.
f ) f(x) = [x] + [−x] + 1.
5. En los ejercicios 4 (c) y 4 (f) dé respuestas a las siguientes preguntas
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4.11. ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES 277
a) ¿es f inyectiva?
b) ¿es f suprayectiva?
c) ¿∃A ⊆ R tal que f |A sea biyectiva?, si la respuesta es afirma-
tiva, diga quien es A y calcule (f |A)
−1
.
6. ¡¡Ya Basta!! se apresura a decir Don Próspero Torres y aclara que
ya hemos logrado nuestro . . .
