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TitleMandelbrot, Benoît - La geometría fractal de la naturaleza
TagsDimension Fractal Física y matemáticas Mathematics
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LA GEOMETRÍA FRACTAL
de la naturaleza

Benoit Mandelbrot

METATEMAS 49

Page 2

•i I

Benoít Mandelbrot es investigador de IBM en
el Centro de Investigación Thomas J. Watson.
Graduado en la École Polytechnique, master en
aeronáutica y doctor en matemáticas por la
Universidad de París, ha sido profesor en varios
centros de investigación y universidades euro-
peas y norteamericanas, y ha compaginado su
labor en IBM con varios cursos de profesor visi-
tante en, entre otras, las universidades de Har-
vard, Yale, París y el Massachussets Institute of
Technology. Varias veces conferenciante en el
Collége de France desde 1973, dio allí las le-
gons que han dado origen a este libro. Tus-
quets Editores ya publicó en el año 1987 su
primera aproximación a la materia que le ha
hecho célebre. Los objetos fractales (Meta-
temas 13).

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este enfoque del problema, pues sus criterios son demasiado abstractos y no se
han deducido de «modelos» explícitos ni de mecanismos generadores, ni a priori
ni a posteriori.

Tengo poco interés en replicar (torpemente) criticando las teorías concretas
del relieve que constituyen la «corriente principal» por su incapacidad de pre-
sentar falsos paisajes que se aproximen tanto al realismo como los debidos a mis
«teorías» abstractas. Creo que es mejor recordar que muchas de las más bellas
teorías físicas empezaron con primorosas combinaciones de pistones, cuerdas y
poleas, sólo para acabar (varias generaciones más tarde) en su esqueleto de prin-
cipios de invariancia. Visto así, el trabajo que condujo a las presentes ilustracio-
nes, y otros casos que se estudian en esta obra, parten de la línea de llegada. ¿Es
esta una razón suficiente para ponerse triste?

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FiG. C13. Colinas no gaussianas que nunca existieron

Los pies de todos los paisajes gaussianos de esta obra, incluidos los del capí-
tulo 28, se han allanado para formar un nivel de referencia fijado arbitraria-
mente. Este procedimiento se usó primero para generar islas. Y en los paisajes
montañosos, originariamente pretendía ser una ayuda para que el ojo distin-
guiera entre superficies distintas.

Me explicaré un poco más. Cuando preparábamos el ensayo de 1975, no
queríamos desperdiciar datos y representamos gráficamente todo lo que tenía-
mos, pero el resultado fue penoso: a nuestros ojos les resultaba sorprendente-
mente difícil distinguir entre paisajes que sabíamos estaban caracterizados por
valores de D significativamente distintos. Luego, el deseo de representar las cos-
tas de las islas junto con el relieve nos llevó a introducir una superficie plana de
referencia en la misma imagen, y de repente las diferencias en las D se hicieron
clarísimas. Deberíamos haber recordado que, para apreciar el movimiento, se
necesita un patrón de reposo. Y lo mismo ocurre con la rugosidad.

Ahora nos encontramos con que, cuando se aplicaba el mismo procedi-
miento a los valles y también a los montes, tenía además un segundo efecto de lo
más afortunado, aunque no fuera intencionado. Al crear los planos (que recuer-
dan lagos, montones de nieve o aluviones) se ocultan los fondos de los valles, lo
que nos obliga a concentrarnos en las montañas altas, donde el modelo resulta
mucho más potente de lo esperado. Si hubiéramos mirado demasiado pronto al
relieve en su conjunto, nos habríamos llevado un fuerte desengaño, pues en los
modelos gaussianos los fondos de los valles son tan «poco lisos» como las cimas
de los montes, y en cambio los valles reales lo son mucho más. Por el momento,
no me gusta ninguna de las explicaciones de esta diferencia,

Pero hay maneras de «arreglar» el modelo gaussiano de las montañas para
dar mejor cuenta de los valles. El arreglo más simple supone que las únicas dife-
rencias entre las distintas partes del relieve tienen que ver sólo con la escala ver-
tical, siendo el valor de D el mismo en todas partes. Para justificar esta suposi-
ción, reduzcamos la escala vertical de las sierras gaussianas de la lámina Cl 1.
¡Como por milagro se convierten en terreno ondulado! Y viceversa, considere-
mos cualquier superficie cuasi plana, como la de una pista de aterrizaje, y au-
mentemos sus asperezas. En primera aproximación, el resultado es muy a me-
nudo parecido a las colinas gaussianas de la lámina C11, con una dimensión que
depende de las circunstancias concretas. No hay razones para pensar que este re-
sultado no es válido para los fondos de los valles. Por tanto, uno no puede dejar
de preguntarse por las consecuencias de suponer que, si D es válida para las ci-
mas de las montañas, también vale en primera aproximación para los fondos de
los valles.

Una idea más concreta consiste en restringir la validez de la invariancia por
cambio de escala a dominios pequeños, con la misma dimensión en todas partes,
mientras la escala vertical aumenta con la altitud sobre el fondo del valle. Con
este objeto en mente, en el grabado de la parte superior de esta lámina y en la co-

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B̂ BOít Mandelbrot es conocido como el «padre de los fractales>;
¿que es la geometría fractal?

Pero

Concedamos la palabra al propio Mandelbrot: «¿Por qué a menudo se des-
cribe la geometría como algo "frío" y "árido"? Sí, es incapaz de describir la
forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol, porque ni las nu-
bes son esféricas, ni las montañas cónicas, rii las costas circulares, ni el tron-
co de un árbol cilindrico, ni un rayo rectilíneo. (...) Creo que muchas for-
mas de la naturaleza son tan irregulares y fragmentadas que la naturaleza
no sólo presenta un grado superior de complejidad, sino que ésta se nos reve-
la completamente diferente. (...) La existencia de estas formas representa un
desafío: (...) la investigación de la morfología de lo "amorfo". (...) En res-
puesta a este desafío, concebí y desarrollé una nueva geometría de la natu-
raleza y empecé a aplicarla a una serie de campos. Permite describir muchas
de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean, dando lugar a teo-
rías coherentes, identificando una serie de formas que llamo fractales. (...)
Algunos conjuntos fractales [tienen] formas tan disparatadas que ni en las
ciencias ni en las artes he encontrado palabras que los describieran bien. El
lector puede, hacerse una idea de ello ahora mismo con sólo echar una rápi-
da mirada a las ilustraciones de este libro».

Y termina: «Contra lo que hubiera podido parecer en un principio, la
mayoría de mis trabajos han resultado ser los dolores de parto de una-nueva
disciplina científica». Lo,son, en efecto, de tal manera que esta nueva disci-
plina, la geometría fractal de la naturaleza, protagoniza hoy múltiples invehí—
tigaciones en todos los campos de la ciencia.

Fundado "laCaixa"
Museu de la Ciencia

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TUSOUETS
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