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EL SOLUCIONARIO
                        
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TM3,1 PRUIM Mis im

CONTENIDO:

I.- NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES

II.- FUNCIONES

III.- VECTORES EN EL PLANO

IV.- GEOMETRÍA ANALÍTICA

V.- LÍMITES

VI.- DERIVADAS

VII.- APLICACIONES DE DERIVADAS

VIII.- INTEGRALES

IX.- APLICACIONES DE INTEGRALES

APV-MIES ` (FRQBLE` AS DE CÁLCULO I' Es una obra Legalmente

registrada en eíLibro de jgistro de PPropiedadInteLectua1 bajo la resolución

administrativa yV° 040/88 defInstituto Boliviano de Cultura, en favor del

autor Víctor Chungara Castro, con regularización el15 deAgosto de(2002,

con TTúmero de Depósito Lega[ 4-1-1153-02, en e(Rggistro de (Depósito Legal

de Obras Impresas, habiéndose cumpCufo todos Los requisitos de Cey alefecto, por

tanto queda absolutamente prohibido su reproducción totalo parcial

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Actualmente con el uso de las modernas Calculadoras Electrónicas, es posible verificar resultados de los límites
que presentan alguna Indeterminación.

De acuerdo al concepto de limite. se debe lograr que la Función tienda hacia algún valor, cuando la variable
tiende a cierto valor determinado.

Reenplazando en la variable, valores cercanos a su tendencia, se puede determinar la tendencia de la Función.

Ei 5-20

r-°
5•:53

a)

c)

x2+x- 6 0 x2+x-6
Lím

= Si: =

x-2 x 2- 3x + 2 0 f (x)

f (1 .99)

f(1 .9999)

/(2:0001)

1.992+1.99-6

1.992-3.1.99+2

x2-3x+2

= 5.04040404

= 2 . 0 1 2 + 2.01 - 6 = 4.96039604

2.0.12-3.2.01 +2

1.99992 + 1.9999 -6
= 5.00040004

1.99992 - 3-1.9999 + 2

2.00012 + 2.0001 - 6 = 4.99960004

2.00012 - 3.2.0001 + 2

Verificar los resultados de los siguientes límites:

Lím
x-1

Si:

I -x - 0

I-f 0

f(x)

((0.99)

((1.01)

f(0 9999)

((1.0001)

= 1 -x

1 - f

= 1.994987434

= 2.004987567

= 1.999949601

= 2.000052001

El Resultado es: 2 (Ver P-5-2 1 -a)

Lím (1 + 3x)1` = 1-
x-0

f(x) _ (1 + 3x)"'

21.02938506

f(ool) = 19.21863198

((_0000001 ) = 20.08562731

1(0000001 ) = 20.08544653

Si:

Según P•S-27- a : el resultado exacto es
e3 = 20.08553692 . la aproximación es

evidente.

b)

d)

Verificando un límite, que presenta una
Indeterminación. Tomando la Función
cuyo Límite se calcula.

Reemplazando valores cercanos a la
tendencia de la variable (2), tanto antes
como después. Tomando valores mas cer-
canos aún. Es indudable que el límite
tiende hacia: 5

Por P-5- 1 9-a el límite es: 5 , queda enton-
ces verificado el resultado.

Programando la Función en una Calculado-
ra, los resultados son inmediatos.

Lím 2x + 3 =
x_- x - 1

w

2x+3
SI: f(x) _

X - I .

((1000) = 2.005005005

1(1000000) = 2.00000500

Se toman valores a reemplazar, cada vez mas al-
tos, ya que la variable tiende a Infinito. Eviden-
temente el resultado es: 2 (Ver Ej 5-9)

Lím
x-1

rrx
Cos -

2

1 -x

Si: f(x)

((0.99)

f(1.01)

((0.9999)

((1.0001)

cos TTX
2

1 -X

1.570731734

1.570731 724

= 1.570796993

= 1.570795993

Por P•S-35 el resultado es:
n/2 = 1.570796327 según se verifica.

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La aplicación fundamental de los límites es la de permitir la definición de otros conceptos. Los Límites por si
mismos brindan además otras aplicaciones, tanto geométricas como físicas.

E'U 5-21 Hallar el Límite del ángulo interno de un Polígono regular de n lados, cuando n tiende a infinito.

Efectuando la construcción geométrica adjunta. El ángulo entre
dos radios que van a los vértices del Polígono regular es: 8. será
igual a 360°/n (n número de lados del Polígono)

El ángulo entre dos lados consecutivos es 0. La suma de
ángulos internos de un Triángulo es de 180°. Por tanto:

0 + 0 + 8 = 180° 4) = 180° - 360°
2 2 n

a = Lím 4) ; a = L(m (180° - 360°) = 180°
n

Cuando el número de lados de un Polígono regular tiende a infinito. Entonces el ángulo entre dos
lados consecutivos tiende a 180°. así el Polígono tiende ser Circunferencia.

ASÍNTOTAS OBLICUAS

Una aplicación de los límites es el cálculo de las Asíntotas Oblicuas

AS(NTOTA OBLICUA DERECHA
Es la Recta : y = a, x + b1 ; donde:

a , = Lím L ( ' -) ; b, = Lím ( ) - a, x)
x-- X x--

Ei 5-22 a) Asíntotas Oblicuas de:

x3

x3

x2+4x-5

a, = Lím "' = Lím x
2

+ 4x - 5 = I
X - x x_- x

ASINTOTA OBLICUA IZQUIERDA
Es la Recta : y = a2x + b2 ; donde:

G2 = L(m /Ix) ; b, = L(m (¡(x, - a, x)
X. -- x x---

b, =Lím ÜIx1 -a, xj=Lím( x -1•x)=-4
r- n- - X2 + 4X - 5

x3

2

a2 = Lím
(x) = Lím x + 4x - 5 =

I
x --- X x--- x

b2= Lím Ü¡xl - a2x ) = L(m (
x

-I x) =-4
x- -- x--- x2+4x- S

Y = 1 x*(-4) =x-4

b) Asíntotas Oblicuas de: ¡Ixl = x + Ln x

Como el Logaritmo se define solo para positivos. no
existirán Asíntotas Oblicuas a izquierda.

a L m
ÍIx-

= Lím x+ Ln
x

x.- X r.- X

b1 =Lima, x) =Lím(x•Lnx- 1 x] = m

-3 :1 -, 4 6
8........ .... .... ... ... ....

..............,.....;F.......:, :....:......,.......:.....

^... ^^ ......F.............. J 2 ..5 ..... ...........:......

L.:. .. .. .. ..... .. .. ...... .... ....

_ } 6 .......... - .. .. ..... .. .. . ......

;.....;.....}......... .LC^..... x.....1.... .1..... •..

'.I. ..;...

.162•

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APÉNDICE C

TRIÁNGULO
RECTÁNGULO

A = L ab
2

ROMBO

A = di d2
2

CÍRCULO

A = nr2

CUBO

S=6a2
V =a'

ESFERA

S = 4nR 2

V = (4 n R')/3

TRIÁNGULO

A = a2

PARALELOGRAMO

A = bh

CORONA

=n(r¡-r2)

PARALELEPÍPEDO

= 2 (ab + ac + bc)
V = abc

CILINDRO

S = 2nrh + 2nr2
V = nr2h

CUADRADO

A = ab

TRAPECIO TRAPEZOIDE

A = a+b h A= 4(d,d2) 2-(a2-b2+c2-d2)2
2 2

SECTOR CIRCULAR SEGMENTO CIRCULAR

A = nr2
E_° A = nr2 E)' c(r-h)

3600

TETRAEDRO

S = fi a2

V (fia')/12

CONO

S = nrg + nr 2

V = nr2h/3

a

RECTÁNGULO

A = (a h)/2 ; s = (a + b + c)/2

A = s(s-a)(s-b)(s-c)

360 2

PIRÁMIDE --

b

A,

= (P a)/2 +A b

V = (Ab h)/3 1

TRONCO DE CONO

S = ng(r, - r2) +n(r2+ri)

V = nh(r,r2 + r¡ + r2 )l3

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APÉNDICE D

LÍMITES

DEFINICIÓN

OPERACIONES CONOCIDAS (a > 0)

0 + 0 = 0 0 Oa = o
=0

0.0 = 0 a
a

0° = 0

a - 0 = a a' l
o a<I

0
ao a > I

a•0 = 0 ao =1

INDETERMINA-
0

CIONES -
0

LÍMITES COMUNES

ax - ILím =Lna
x-O X

DERIVADAS Defir,ición:

(u - u)` = u' + u'

(u•u)' = u'u + uu'

L, u'u - uu'

u

(e)' = 0 : (c u)' = c u'

(u u °(u •Ln u + u u')
u

Lím
f(x•h) - f(x)

f
(_) h-o h ' (x) dx dx

(X m)' = mXm-1

(a x)' = a°Lna

(e x)' = ex

(Ln x)' = 1
X

^a =ao

Ln oo _ 00

(Aresen x)' _

(Arccos x)' _

I -x2

-I

I -x2

(Arctan x)' _
x2

11 ^
Iii iiiii

1

tito

x- a Í< b Donde: e, b> 0

00 + 00_ 00 0 + 00_ 00

00

a
a

0o

(Sen x)' = cos X

(Cos x)' = -Sen x

(Tan x)' = Sec 2X

(Cotx)' =-Csc2x

(Sec x)' = Sec x Tan x

(csc x)' = -Csc x Cot x

INTEGRALES ¡• f
(x)

dx = F
(a)

- c (F'
(z)

= f
(x)

)J

Lím f(x) =L : Si- Í f(x) - L 1 < e Siempre que: 0 <
x-a

u2

0

x
1 Lím (1 + x)' = e : Lím (1 + -) = e Lím Sen x = 1 : Lim 1 - Cos x = 0

x-o x-- X x -o X x-o X

f(Í -g)dx= ffdx + fgdx

f afdx=a ffdx

f xmdx
xm•I

m•-I
m

I
dx = Ln ¡xi

x

f
a UX

ax

Ln a

J e dx = e x

J Tau °uu - fudu

b^J f(.) dx = F(z)
a

b
= F(b) - F(a)

Sen x dx = -Cos x f Senh x dx = Cosh x

f Cos x dx = Sen x

f T_nx dx =-Ln!Ccsx¡

f Cotx dx = Ln¡Senx1

f Sec x dx = Ln ¡Sec x + Tan x¡

Cscx dx =-Ln!Cscz - Cotx¡f

f Sec 2x dx = Tan x

Csc22x dx = - Cat x

=
d
¡(x)=y• dy

f Cesh x dx = Senh x

f Tanh x dx = Ln¡Cosh x!

X
dx = -Arctan -

x2 a' a a

1 x-a¡
dx = -Lr

X2 -a` 2a X -a

a'

dx
a
°(z)

316 -

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