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TitleLa transformation de Weyl et la fonction de Wigner : une forme alternative de la mecanique
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S y b r e n d e C a r o o t

La transformation
de Wey 1 et la fonction
de Wigner:
une forme alternative
de la mécanique quantique

L E S P R E S S E S D E L ’ U N I V E R S I T É D E M O N T R É A L

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La transformation
de Weyl et la fonction
de Wigner :
une forme alternative
de la mécanique quantique

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CHAPITRE III

LA FONCTION DE WIGNER

7. Définition de la fonction de Wigner

Un système quantique est décrit par un opérateur sta­
tistique, que nous désignons ici par P(t). Pour un cas pur on
a:

P(t) = iKt) > <*(t)|, (7.1a)

tandis que pour un mélange

p (t) = I Wy l’f’yCt) > <^Y(t) I, (7.1b)

où les sont les poids statistiques

(WY * °> l wY = 1)
Y

et les (t) > forment un système orthonormé. On a donc

Tr P(t) = l <ÿy (t)lÿy (t) > = l = 1, (7.1c)

(Ici tout a été écrit pour une seule particule mais la généra­
lisation à N particules est évidente.) La formule pour la
moyenne d'un opérateur (i.e. sa valeur d'attente) est:

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44 La transformation de Weyt et ta fonction de Wigner

Â(t) = Tr P(t)A = l < i|>y (t) |A|^Ct) > , (7.2a)

donc pour un cas pur:

A = < Ht) I AIHH > . (7.2b)

La formule (5.14) était:

Tr BA = h 3 / dpdq b(p,q)a(p,q) (5.14)

avec b et a les transformées de Weyl des opérateurs B et A. Dé­
finissons maintenant la transformée de Weyl de P(t) par

P(t) % h3p(p,q,t), (7.3)

où p est appelée la fonction (de distribution) de Wigner. Alors
3

la formule (5.14) devient pour B = P e t b = h p :

À(t) = Tr P(t)A = / dpdq p(p,q,t)a(p,q) = à(t), (7.4)

donc une moyenne dans l'espace de phase de la transformée de
Weyl a(p,q) avec fonction de distribution p(p,q,t).

p donne P à l'aide de (3.1):

P(t) = / p(p,q,t)A(p,q)dpdq. (7.5)

P donne p à l'aide de (4.6):

p(p,q»t) = h“3Tr P(t)A(p,q); (7.6)

en utilisant (7.1b) dans (4.7), on a aussi:

p(p»q,t) = h'
r P*v

/ dv e l w y < q-lv|^(t) >< ̂ (t) |q+Iv > .
Y (7.7a)

Pour le cas pur, nous aurions:

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28. Fonctionnelles analytiques et fonctions entières (n variables). Pierre LELONG
29. Applications of functional analysis to extremal problems for polynomials. Qazi

Ibadur RAHMAN
30. Topics in complex manifolds. Hugo ROSSI
31. Théorie de l’inférence statistique robuste. Peter J. HUBER
32. Aspects probabilistes de la théorie du potentiel. Mark KAC
33. Théorie asymptotique de la décision statistique. Lucien M. LECAM
34. Processus aléatoires gaussiens. Jacques NEVEU
35. Nonparametric estimation. Constance VAN EEDEN
36. K-Théorie. Max KAROUBI
37. Differential complexes. Joseph J. KOHN
38. Variétés hilbertiennes : aspects géométriques. Nicolas H. KUIPER
39. Deformations of compact complex manifolds. Masatake KURANISH1
40. Grauert’s theorem on direct images of coherent sheaves. Raghavan NARASIM-

HAN
41. Systems of linear partial differential equations and deformation of pseudogroup

structures. A. KUMPERA et D.C. SPENCER
42. Analyse globale. P. LIBERMANN, K.D. ELWORTHY, N. MOULIS, K.K.

MUKHERJEA, N. PRAKASH, G. LUSZTIG et W. SHIH
43. Algebraic space curves. Shreeram S. ABHYANKAR
44. Théorèmes de représentabilité pour les espaces algébriques. Michael ARTIN
45. Groupes de Barsotti-Tate et cristaux de Dieudonné. Alexandre GROTHEN -

D1ECK
46. On fiat extensions of a ring. Masayoshi NAGATA
47. Introduction à la théorie des sites et son application à la construction des pré­

schémas quotients. Masayoshi MIYANISHI
48. Méthodes logiques en géométrie diophantienne. Shuichi TAKAHASHI
49. Index Theorems of Atiyah — Bott — Patodi and Curvature Invariants. Ravindra

S. KULKARNI
51. Introduction à la théorie des hypergraphes. Claude BERGE
52. Automath, a language for mathematics. Nicolaas G. DE BRUIJN
54. La Série génératrice exponentielle dans les problèmes d’énumération. Dominique

FOATA
55. Feuilletages : résultats anciens et nouveaux (Painlevé, Hector et Martinet). Geor­

ges H. REEB
57. Minimal varieties in real and complex geometry. H. Blaine LAWSON, Jr.

Introduction à la statistique. Deux tomes. Marcel BERTAUD
Tables de la fonction de répartition et des pourcentiles pour la somme de variables

aléatoires indépendantes de même loi uniforme. Normand BUCKLE, Charles H.
KRAFT et Constance VAN EEDEN

Tables prolongées de la distribution de Wilcoxon-Mann-Whitney. Normand BUCK­
LE, Charles H. KRAFT et Constance VAN EEDEN
Formes intégro-différentielles non coercives. Joseph J. KOHN
Tables of branching rules for representations of simple Lie Algebras. Jiri PATERA et

David SANKOFF
Aspects modernes de la fiabilité. Dinkar MUKHEDKAR, Pierre BRETAULT et Gé­

rard SEVESTRE
Solution numérique des problèmes matriciels. Neil STEWART

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