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ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS

Introduction à la méthode
des éléments finis

Michel KERN1

2004–2005 S3733 / S3735

1Inria, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, [email protected]

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La formulation variationnelle, sans encore préciser l’espace dans lequel nous chercherons
la solution est

(2.33)
Trouver u tel que∫


(∇v(x))T∇u(x) dx =



f(x)v(x) dx+


∂Ω
g(x)v(x) dγ(x) ∀v.

Le choix le plus naturel serait de prendre V = H1(Ω), mais la remarque précédente montre
que nous devrons nous attendre à des difficultés, et en effet, il n’est pas possible de démontrer
la coercivité de la forme bilinéaire a(u, v) =



(∇v(x))T∇u(x) dx sur H1(Ω).

Il est clair que nous devrons modifier le cadre variationnel pour pouvoir appliquer le théo-
rème de Lax–Milgram. Une solution est de « fixer la constante » en travaillant avec des
fonctions à moyenne nulle, soit en posant

V =
{
u ∈ H1(Ω),



u dx = 0

}
,

qui est un sous-espace fermé de H1(Ω), donc complet quand on le munit de la norme induite
par H1(Ω). Nous prenons donc comme formulation variationnelle

(2.34)
Trouver u ∈ V tel que∫


(∇v(x))T∇u(x) dx =



f(x)v(x) dx+


∂Ω
g(x)v(x) dγ(x) ∀v ∈ V,

et nous devons vérifier la coercivité de la forme bilinéaire sur V (les autres propriétés sont
claires). Ce point est quelque peu délicat, et nous admettrons le résultat. Nous avons donc

Théorème 2.9. Soit f ∈ L2(Ω) et g ∈ L2(∂Ω) vérifiant la condition de compatibilité (2.32).
Il existe une solution unique u ∈ V du problème de Neumann (2.34).

Conditions aux limites mélées

Nous envisageons maintenant le cas où la frontière est partitionnée en deux parties ∂Ω =
∂ΩD ∪ ∂ΩN , avec ∂ΩD ∩ ∂ΩN = ∅.

– Sur ∂ΩD est imposée une condition de Dirichlet, que nous supposerons homogène pour
simplifier

u = 0 sur ∂ΩD;

– Sur ∂ΩN est imposée une condition de Neumann

∂u

∂n
= g sur ∂ΩD,

où g ∈ L2(∂ΩN ) est donnée.
Pour démontrer l’exixtence d’une solution, nous devrons supposer que la partie ∂ΩD n’est

« pas trop petite » (sans quoi, nous retoruverons les difficultés du problème de Neumann).
Nous ferons l’hypothèse que mes(∂ΩD) > 0, en désignant par mes la mesure superficielle sur
∂Ω.

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Il est naturel de chercher u dans un sous-espace de H1(Ω) de fonctions nulles sur ∂ΩD.
Pour une fonction test vérifiant la même condition aux limites, la formule de Green conduit à
une formulation variationnelle avec

a(u, v) =



∇vT · ∇u dx, L(v) =


K
fv dx+



gv dγ(x).

L’espace sur lequel sont définies ces formes est

VD =
{
v ∈ H1(Ω), v = 0 sur ∂ΩD

}
.

Notre problème variationnel est donc

(2.35)
Trouver u ∈ V tel que∫


(∇v(x))T∇u(x) dx =



f(x)v(x) dx+


∂ΩN

g(x)v(x) dγ(x) ∀v ∈ V.

Théorème 2.10. Le problème 2.35 admet une solution unique u ∈ V .

Preuve. La continuité de a et de L se démontre comme à la proposition 2.5. Le seul point délicat
(et qui peut être passé en première lecture) est la coercivité de a.

Pour montrer la coercivité de a, commençons par montrer que w →

a(w,w) définit une norme

sur V . Il est clair que c’est une semi–norme. Si a(w,w) = 0, ∇w = 0 (presque partout) sur Ω, donc w
est constant sur Ω (connexe). Comme w = 0 sur une partie du bord de mesure strictement positive,
nous concluons que w = 0 sur Ω.

Il nous faut donc montrer que cette nouvelle norme est équivalente à la norme de H1(Ω). Pour
cela, raisonnons par l’absurde. Supposons que, pour tout n ∈ N, il existe wn ∈ V , tel que

a(wn, wn) ≤
1
n
‖wn‖

2
H1(Ω) .

En fait, nous pouvons prendre ‖wn‖H1(Ω) = 1 (c’est une simple normalisation). La suite (wn)n∈N est
donc bornée dans H1(Ω). Par compacité (voir le théorème de Rellich 2.5), nous pouvons extraire une
sous suite (wnk)k∈N qui converge dans L

2(Ω).
Par hypothèse,

a(wnk , wnk) ≤
1
nk
,

et donc ∇wnk → 0 dans L
2(Ω) quand k → ∞. Par conséquent (wnk)k est une suite de Cauchy dans

H1(ω), et converge vers une limite w∗. On a donc∫


|∇w∗|2 dx = lim
k→∞




|∇wnk |
2
dx ≤ lim

k→∞

1
nk

= 0.

D’après la première partie dela démonstration, on a donc w∗ = 0, mais par ailleurs,∫


|w∗|2 dx = lim
k→∞

|vnk |
2
dx = 1,

ce qui est une contradiction avec w∗ = 0. �

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