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TitleÉchantillon_Annales Annabac 2017 Bac S
TagsLine (Geometry) Plane (Geometry) Matrix (Mathematics) Complex Number Confidence Interval
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SUJETS &
CORRIGÉS 2017

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Maths

Physique

Chimie

SVT

SUJETS &
CORRIGÉS

L’INTÉGRALE
du BAC

100 sujets expliqués
et corrigés

les outils du bac :
formulaires, mémentos,
lexiques…

des conseils de méthode

+

+

Page 32

30 c o r r i g é 1

b) Identifier le rôle d’un algorithme
Cet algorithme permet d’obtenir, si elles existent, des coordonnées entières (X ; Y)

d’un point sur la droite d’équation = –y M
N

x P
Q

.

mm 1. Exprimer la tangente d’un angle
D’après l’énoncé, le joueur peut taper le ballon depuis n’importe quel point T sur le
segment [EM] sauf au point E. Par suite, la distance ET ne peut pas être nulle. Autre-
ment dit, x ≠ 0.

En utilisant les longueurs données dans l’énoncé
et exprimées en mètres (EA = 25 et ET = x), nous
avons, dans le triangle ETA rectangle en E :

αtan = EA
ET

= 25
x

.

En utilisant les longueurs données dans l’énoncé
et exprimées en mètres (EB = EA + AB = 25 + 5,6
= 30,6 et ET = x), nous avons, dans le triangle
ETB rectangle en E :

βtan = EB
ET

= 30,6
x

.

Ainsi,
x

tan =
25α et

x
tan =

30,6β .

mm 2. Étudier le sens de variations d’une fonction

Notons I l’intervalle π0 ;
2

.

• Comme la fonction cosinus ne s’annule pas sur I et que les fonctions sinus et cosi-
nus sont dérivables sur  et donc sur l’intervalle I, la fonction tangente définie dans
l’énoncé est dérivable sur I.
• En notant : sin( )u x x� et : cos( )v x x� , u′ et v′ leurs dérivées respectives, nous
avons :


′ × × ′ × ×

tan ( )=
( ) ( ) – ( ) ( )

( ( ))
=
cos( ) cos( ) – sin( ) (– sin( ))

cos ( )
=
cos ( ) + sin ( )

cos ( )2 2
2 2

2x
u x v x u x v x

v x
x x x x

x
x x

x


in( ) (– sin( ))
)

=
cos ( ) + sin ( )

cos ( )

2 2

2
x x

x
x x

x
= 1

cos ( )2 x
.

Comme pour tout réel x de I, cos2(x)  0, il en est de même pour tan′(x). La dérivée
de la fonction tangente étant strictement positive sur l’intervalle I, la fonction tan-
gente est strictement croissante sur l’intervalle I.

S P É C I F I Q U E E T S P É C I A L I T É
E X E R C I C E   4

Notez bien
Dans un triangle
ABC rectangle en B,

tan =
BC
AB

=
côté opposé
côté adjacent

.

B
A

25

E T
x

α

B
A

25

E T

5,6

x

β

Notez bien
Pour toutes fonctions
u et v dérivables sur
I, v ne s’annulant pas

sur I, le quotient
u
v



est dérivable sur I et

=

2

u
v

u v uv
v

′ ′ ′
.

Notez bien
Pour tout réel a,
cos2(a) + sin2 (a) = 1.

Page 33

M
A

TH
ÉM

A
TI

Q
U

ES

31 c o r r i g é 1

mm 3. Établir une égalité
Les points E, A et B étant alignés dans cet ordre, nous avons : ETA + ATB = ETB
équivalent à ATB = ETB – ETA. En rappelant que α, β et γ sont respectivement les
mesures en radians des angles ETA, ETB et ATB, nous en déduisons que γ = β – α.

En prenant a = β et b = α dans l’égalité admise dans l’énoncé de cette question, nous
avons :

( )γ β α
β α

β × α
tan = tan – =

tan – tan
1 + tan tan

.

En utilisant les expressions de tan α et tan β établies à la première question, nous en
déduisons que :

γ
×

×

tan =

30,6 – 25

1 + 30,6 25

=

5,6

+ 765

= 5,6
+ 765

= 5,6
+ 765

2

2

2

2

2

x x

x x

x
x

x

x
x

x
x

x
.

Ainsi, γtan = 5,6
+ 7652
x

x
.

mm 4. Déterminer des valeurs sous contrainte
• Notons Topt une éventuelle position du point T sur le segment [EM] à l’exception
du point E pour laquelle l’angle ATB serait maximum, autrement dit pour laquelle sa
mesure γ serait maximale. Désignons par γopt la mesure associée à cette position opti-
male du point T. Par suite, quelle que soit la mesure γ de l’angle ATB, T appartenant
à [EM] à l’exception du point E, nous avons naturellement :

γopt > γ.
Comme toutes ces mesures appartiennent à l’intervalle π0 ;

2
et que la fonction

tangente est strictement croissante sur cet intervalle (question 2.), il s’ensuit que :
tan γopt > tan γ.

• Notons xopt la longueur ETopt. En se remémorant que ET = x et en utilisant le
résultat démontré à la question 3., nous avons :

γ γtan tan
5,6

+ 765
5,6
+ 765 + 765 + 765opt

opt

opt
2 2 simplification

par 5,6 �0

opt

opt
2 2

x

x
x

x

x

x
x

x
� ⇔ ⇔� � .

Page 64

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Un mémo « J – 3 »

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Chimie spéci� que & spécialité

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éc

i�
q

ue


&
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ci

al
it

é


leleT

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spéci� que
& spécialité

S
V

T
Tl

e


2017

sp
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q

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ci

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22 sujets : dont BAC 2016

Pour l’écrit et l’oral

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6

CORRIGÉS

2017

E
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o

l T
le

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LV

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L
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