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a cura di
FRANCO CONTI
e d i
MICHELE BARSANTI
TULLIO FRANZONI
LE OLIMPIADI
DELLA
MATEMATICA
iWffi ffi ffi ffi- ffi ru$ ffi ffi ffi ffi- ffi- ffiH qffi ,ffi ffi ffi ffi i$-',ffi, $* ffi +ffi,ffi ffi;
ZAN ICH ELLI
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LE OTIMPIADI DELLA MATEMATICA
A CUrA di FRANCO CONTI, MICHELE BARSANTI, TULLIO FRANZONI
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GEOP 1
GEOP 2
GEOP 3
GEOP 4
GEOP 5
GEOP 6
La risposta è (C). come si controlla cìividendo I'esagono in 6 triangolini equilateri ognuno
di lato 1/6 del perinretro conlune e dividendo il tr iangolo in 4 tl iangolini,equilateri aventi
lo stesso lato.
La risposta è (A). La soluzione corretta è la simrnetria di centro P.
La risposta è (B). Infatti la seguente figura rnostra come può esserc suddiviso i l quadrato
piccolo in,1 parti uguali ciascuna a\,ente area 100/-1 :25 cm2.
La risposta è (A). L': irea di un trapezio è uguale alla semisornma delle basi per I 'allezza-
Itr questo caso l ' tr ltezza è 10 cm e quindi la semisomma delle basi vale 150/10 : 15 cm.
Tenenclo presente chc in un quacirilatero circoscritto ad un cerchio la somma dei lati
opposti uguaglia la sornma degli altri due lati opposti (consegucnza clel rBoRn\IA DELLA
T.\NGENTE). si lra che la somma dei due lati obliqui del nostro trapezio vale 2.15 : 30 cm.
La risposia è (D) Il trìangolo A1B1C è simile al triangolo ABC e i l rapporto dei tati
corrisponclenti è 4/5. quincli i l rapporto clelle loro aree è T6125. Tenuto conto che Ìa
differenza delle loro a.ree è 45 crn2. si ha sr.rbito che urro ha area 80 cm2 e l 'altro 125 cm2.
La risposti i è: (B). Se DI1 è I 'altezza del trapezio si Ìra
: = Ò D I
Area(ABCDI :
)tta + c'D). DH
:
f,t^u *?^u, DH
:
l,+u
. ,,
Siccorne Area( , BC) : +AB.DH :2J cn2, s i o t t iene che I 'area del t rapezio rn isura
40 crn2.
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Geometria piana
GE0P7 La risposta è (A). Basta osservare che il tr iangolo BIvIH è simile al triangolo BHA con
u n r a p p o r t o d i s i m i l i t u d i n e d i l 1 2 . d a t o c h e B X I : ( 1 1 2 ) B A , e q u i n d i l ' a r e a d i B A , I H è
1/4 dell 'area dí BHA cioè 1/5 dell 'area di ABL'I . Siccome l 'area del triangolo ABA,I è
P t l 2 t 2- . ne segue ch t ì ' n l ea , l e l l a pa r te co rn tn re O
; f
:
a
t
GEOP 8 La risposta è (B). Si consideri i l tr iangolo DNB. Per i1 rnonoxlA DELL'ANGoLo ESTER-
No si ha che A,n/11 : D * B. Analogamente. considerando il triangolo EHC, si ricava
che AFI/ :0 + É. So,rr*u,rdo gli angoli interni del triangolo A11ltr si ottiene infine
18oo : A+ tf in + AfrN : À+ É + C + D + È .
Una soluzione alternativa è ottenibile considerando i tr iangoli AKD, B,IE. CIIA, DNB.
EHC. La somma dei ioro angoli è 5. 180o: in tale somma gli angoli in A, B. C. D. ,E sono
contati due volte ed essa comprende anche gli angoli interni del pentagono 11K-ll-/N la
cu i somma è 3 . 180 " . I n conc lus ione 2 . ( Î + E + e+ D + É ) + : . 180 " : 5 . 180 " , da cu i
la risposta.
La risposta è (A). Come evidenziato dalla figura sottostante. la regione è ottenuta consi-
derando tre settori circolari di ampiezza 60". a cui si tolgono 3 triangoli equilateri cl i lato
l, per poi aggiungere il triangolo equilatero interno alla figura. L'area è pertanto data cla
/; /;
n r . , v J Í v ó. ì . - -- 6 -
r 2 2
GEOP 1O La risposta è (A). Se a. b rappresentano le aree di CEB e DEA, si ira r t a: r i_b.
dato che i due membri rappresentano aree di triangoli aventi base e altezza di ugual
lunshezza. Inol t re
:
=
i
dato che enrrambi ta l i rapporr i souo , ,e , ,o l i u
f f .
Segue
allora che a : b : r/ry e quindi l 'area totaie è r * g +2Jrg.
87
F#
l l
N
GEOP 9
GE0P11 La r isposta è (B) .Sia O i l centro del cerchio d i par ter iza
di raggio unitario. L'area del semicerchio di diametro ,,1C
. r (ue\ ' *
" ; [ ; l2
\ , / +
Per ottenere I 'area dell" 'orecchio" sinistro occorre toglie-
re la parte cire appartiene al quarto di cerchio AOC e
non sta nel triangolo AOC. L'area di questa porzione è
1 1 1 . 1 i r 1
4
-
2
:
j
-
,.
Drrnque l 'area di ciascun orecchio è
o ( n l \ I
I \ l 2 ) 2 '
L
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182 Indice
N
- ( d e i n u m e r i m . n . ( ^ n - n a ) ) a . 5 0 R
- (d i n mrmer i < i00) 5.59 Radic i in tere 4.8,15.52.90.157
\leccanisrni 45,152 Radici razionali 4.52.81
\ Iedia ar i t rnet ica 83,107,125.127.128.158 Ran-rpa d i scale,16,154
\Iedia armonica 85.158 Regola dei segni 53
\ Iec l ia geometr ica 83.85.107.125.128 Rigor i ,12,150
\Ieclia quadratica 83.127 Riflessione della luce 160
\letodo di discesa 51 Riordinamento 9.66
\Iondiali cl i calcio 155 Rotazione 90.114
Xlonete che rotolano 15.153 Rriff ini (teorema di) 79.81.158
Nazionale c l i ca lc io 39.146 Scacchiera 7.8.10.62.63.64.69
Neu,to' Isaac 3g - (infinita) 9,67
Numeri Scoiattoli 155
- (razionali) 14,77 scompc.rsizione binaria 61
- ("speciali ' ') 39.1,16 Settore circoìare (di perimetro assegnato e area
- (triarrgolari) 5,57 masstma) 31.12-1
Sezioni d i un cubo 29.30,117.119
O Sirnnietria centrale 11.1
Olimpiadi Internaziolali IX.i55.163 Sistema simmetrico 76
Orrrotetia 8.g,g0 Statua cli bronzo 28.f 16
Operaziorie o 12,74 Strette di nano 8.65
Svegìia
P - (che rimane indietro) '13.151
Pal l ine in sacchet t i 8 .36.64.1,11 - (d ig i ta le) 43.151
Parabole 156
Parte iritera di ru numero 5,ó8 T
Partita cli calcio 36.137 Talete (teorenia di) 95.110
Pavirnentazione di ttna piazza 23.92 Tar.'ola circolare
Pentagono 26,31.108.111.125 - (con t? commensal i ) 9 .68
Pepvs Samuel 38 - (con 30 uomini e 30 donne) 10,70
Percorsi (che connettono due vertici di un paral- Teorema
le lepipedo) 6.37.116,138 - c inese del resto 60
Piano complesso 108 - dei seni 84
Pioggia 40.146 - cìella bisettrice 88
Pista circolare ,1,1.152 - clella mediana 105,123.160
Poligono intrecciato 19.87 - dell 'angolo alla circonf'erenza 107.129
l'oligono regolare con vertici a coordinate intere - dell 'angolo esterno 87.96,98.111
26 .111 - de l l e secan t i 101 ,118 .129
Polit ici che mentolo 156 - clelle tangenti 86.89.93
Porite 161 Test diagnostico 37.138
fifosi 39.1.19Po t t a ca l c i s l i ca l l . l i I
Prezzo del Ì 'oro 12,150 Toloneo ( teorema di ) 110.111.114,159
Princioi6 Torneo di pallacanestro 8.65
- clel cassetti 66,67,159 Torneo di poker 7.63
- di identità dei polinomi 109 Torneo di tennis 7.38.62,141
- di irrclusiole-esclusione 66.72 Topolino (area delle orecchie di) 20,87
- d i ind 'z ione b1.71.1,18 Totocalc io 10,72
Prodotto scalare 95.109 Trattore 156
Proclotto vettoriale 120
Progressione ar i t rnet ica -1.10.11.13.14.23.72.76. y ,
7g.g4 \ 'alore assoluto 133
Versore 109
a Ve t to re 95 .109 .120 .131
()uaclrato
- (da sudclividere in quadr:rtini) 9.-17
- (che rotola) ,14.Ió2
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Queslo volume, sprovvisto del talloncÌno a fronte (o opportuna-
mente punzonato o allr imenti contrassegnato), è da considerarsr
copia di SAGGIO-CA|\,4PlONE GRATUITO, fuori commercio (ven-
d ta e a l t r l a t t i d i d ispos lz ione v e ta t r : a r t . 17 l .d .a . ) . Esen le da
l .V .A. (D.PR. 26-10-1972. n . 633, a r t . 2 , le t t . d ) . Esente da bo la
d i a c c o m p a g n a m e n t o ( D . P . R . 6 - 1 0 - 1 9 7 8 n . 6 2 7 , a r t . 4 , n . 6 ) .
LE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA
Pht 4.1,E fl1 d." $.i trÌ I fl)t$. ii. l- F- iii,{}' il [i: f l',iix É". ] idù Pii'i:
a cura di FRANCO CONTI
e di MICHELE BARSANTI e TULLIO FRANZONI
Alle Olimpiadi Internazional i di Matematica partecipano ogni anno, dal 1959,
studenti delle scuole secondarie di tutto il mondo.
Le gare per selezionare i sei concorrenti italiani coinvolgono un numero
Sempre crescente di studenti e di insegnanti. Questo Successo si spiega,
al di là del lo spir i to sport ivo e del l 'occasione di incontro, anche con la qual i tà
dei problemi che vengono proposti. In essi, la matematica è campo di sfida
e, soprattutto, è fonte di divertimento intellettuale, alla ricerca di verità
e di dimostrazioni di f f ic i l i da conquistare.
I curatori, che sono fra gli organizzatori delle gare italiane,
hanno raccolto in questo l ibro 280 fra i problemi più bel l i , suddividendol i
per argomento e per difficoltà crescente. Anche nei casi più impegnativi,
le soluzioni suggeri te predi l igono I 'uso di strumenti famil iar i .
OLIIVPIADI DELLA MATEIVATICA
t s B N 8 8 - 0 8 - 0 9 0 1 6 - 7
,ltilxJu[uilillilil[ill
7 8 9 0 1 2 3 4 ( 0 3 o )
Al pubbl ico (1996-) L. 17 000" '
In anni successivl , n caso di evenìuale cambiamento prezzo
cons! l tare i l calalogo del l 'edi tore
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a cura di
FRANCO CONTI
e d i
MICHELE BARSANTI
TULLIO FRANZONI
LE OLIMPIADI
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LE OTIMPIADI DELLA MATEMATICA
A CUrA di FRANCO CONTI, MICHELE BARSANTI, TULLIO FRANZONI
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La risposta è (C). come si controlla cìividendo I'esagono in 6 triangolini equilateri ognuno
di lato 1/6 del perinretro conlune e dividendo il tr iangolo in 4 tl iangolini,equilateri aventi
lo stesso lato.
La risposta è (A). La soluzione corretta è la simrnetria di centro P.
La risposta è (B). Infatti la seguente figura rnostra come può esserc suddiviso i l quadrato
piccolo in,1 parti uguali ciascuna a\,ente area 100/-1 :25 cm2.
La risposta è (A). L': irea di un trapezio è uguale alla semisornma delle basi per I 'allezza-
Itr questo caso l ' tr ltezza è 10 cm e quindi la semisomma delle basi vale 150/10 : 15 cm.
Tenenclo presente chc in un quacirilatero circoscritto ad un cerchio la somma dei lati
opposti uguaglia la sornma degli altri due lati opposti (consegucnza clel rBoRn\IA DELLA
T.\NGENTE). si lra che la somma dei due lati obliqui del nostro trapezio vale 2.15 : 30 cm.
La risposia è (D) Il trìangolo A1B1C è simile al triangolo ABC e i l rapporto dei tati
corrisponclenti è 4/5. quincli i l rapporto clelle loro aree è T6125. Tenuto conto che Ìa
differenza delle loro a.ree è 45 crn2. si ha sr.rbito che urro ha area 80 cm2 e l 'altro 125 cm2.
La risposti i è: (B). Se DI1 è I 'altezza del trapezio si Ìra
: = Ò D I
Area(ABCDI :
)tta + c'D). DH
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Siccorne Area( , BC) : +AB.DH :2J cn2, s i o t t iene che I 'area del t rapezio rn isura
40 crn2.
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Geometria piana
GE0P7 La risposta è (A). Basta osservare che il tr iangolo BIvIH è simile al triangolo BHA con
u n r a p p o r t o d i s i m i l i t u d i n e d i l 1 2 . d a t o c h e B X I : ( 1 1 2 ) B A , e q u i n d i l ' a r e a d i B A , I H è
1/4 dell 'area dí BHA cioè 1/5 dell 'area di ABL'I . Siccome l 'area del triangolo ABA,I è
P t l 2 t 2- . ne segue ch t ì ' n l ea , l e l l a pa r te co rn tn re O
; f
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GEOP 8 La risposta è (B). Si consideri i l tr iangolo DNB. Per i1 rnonoxlA DELL'ANGoLo ESTER-
No si ha che A,n/11 : D * B. Analogamente. considerando il triangolo EHC, si ricava
che AFI/ :0 + É. So,rr*u,rdo gli angoli interni del triangolo A11ltr si ottiene infine
18oo : A+ tf in + AfrN : À+ É + C + D + È .
Una soluzione alternativa è ottenibile considerando i tr iangoli AKD, B,IE. CIIA, DNB.
EHC. La somma dei ioro angoli è 5. 180o: in tale somma gli angoli in A, B. C. D. ,E sono
contati due volte ed essa comprende anche gli angoli interni del pentagono 11K-ll-/N la
cu i somma è 3 . 180 " . I n conc lus ione 2 . ( Î + E + e+ D + É ) + : . 180 " : 5 . 180 " , da cu i
la risposta.
La risposta è (A). Come evidenziato dalla figura sottostante. la regione è ottenuta consi-
derando tre settori circolari di ampiezza 60". a cui si tolgono 3 triangoli equilateri cl i lato
l, per poi aggiungere il triangolo equilatero interno alla figura. L'area è pertanto data cla
/; /;
n r . , v J Í v ó. ì . - -- 6 -
r 2 2
GEOP 1O La risposta è (A). Se a. b rappresentano le aree di CEB e DEA, si ira r t a: r i_b.
dato che i due membri rappresentano aree di triangoli aventi base e altezza di ugual
lunshezza. Inol t re
:
=
i
dato che enrrambi ta l i rapporr i souo , ,e , ,o l i u
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Segue
allora che a : b : r/ry e quindi l 'area totaie è r * g +2Jrg.
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F#
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GEOP 9
GE0P11 La r isposta è (B) .Sia O i l centro del cerchio d i par ter iza
di raggio unitario. L'area del semicerchio di diametro ,,1C
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Per ottenere I 'area dell" 'orecchio" sinistro occorre toglie-
re la parte cire appartiene al quarto di cerchio AOC e
non sta nel triangolo AOC. L'area di questa porzione è
1 1 1 . 1 i r 1
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Drrnque l 'area di ciascun orecchio è
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N
- ( d e i n u m e r i m . n . ( ^ n - n a ) ) a . 5 0 R
- (d i n mrmer i < i00) 5.59 Radic i in tere 4.8,15.52.90.157
\leccanisrni 45,152 Radici razionali 4.52.81
\ Iedia ar i t rnet ica 83,107,125.127.128.158 Ran-rpa d i scale,16,154
\Iedia armonica 85.158 Regola dei segni 53
\ Iec l ia geometr ica 83.85.107.125.128 Rigor i ,12,150
\Ieclia quadratica 83.127 Riflessione della luce 160
\letodo di discesa 51 Riordinamento 9.66
\Iondiali cl i calcio 155 Rotazione 90.114
Xlonete che rotolano 15.153 Rriff ini (teorema di) 79.81.158
Nazionale c l i ca lc io 39.146 Scacchiera 7.8.10.62.63.64.69
Neu,to' Isaac 3g - (infinita) 9,67
Numeri Scoiattoli 155
- (razionali) 14,77 scompc.rsizione binaria 61
- ("speciali ' ') 39.1,16 Settore circoìare (di perimetro assegnato e area
- (triarrgolari) 5,57 masstma) 31.12-1
Sezioni d i un cubo 29.30,117.119
O Sirnnietria centrale 11.1
Olimpiadi Internaziolali IX.i55.163 Sistema simmetrico 76
Orrrotetia 8.g,g0 Statua cli bronzo 28.f 16
Operaziorie o 12,74 Strette di nano 8.65
Svegìia
P - (che rimane indietro) '13.151
Pal l ine in sacchet t i 8 .36.64.1,11 - (d ig i ta le) 43.151
Parabole 156
Parte iritera di ru numero 5,ó8 T
Partita cli calcio 36.137 Talete (teorenia di) 95.110
Pavirnentazione di ttna piazza 23.92 Tar.'ola circolare
Pentagono 26,31.108.111.125 - (con t? commensal i ) 9 .68
Pepvs Samuel 38 - (con 30 uomini e 30 donne) 10,70
Percorsi (che connettono due vertici di un paral- Teorema
le lepipedo) 6.37.116,138 - c inese del resto 60
Piano complesso 108 - dei seni 84
Pioggia 40.146 - cìella bisettrice 88
Pista circolare ,1,1.152 - clella mediana 105,123.160
Poligono intrecciato 19.87 - dell 'angolo alla circonf'erenza 107.129
l'oligono regolare con vertici a coordinate intere - dell 'angolo esterno 87.96,98.111
26 .111 - de l l e secan t i 101 ,118 .129
Polit ici che mentolo 156 - clelle tangenti 86.89.93
Porite 161 Test diagnostico 37.138
fifosi 39.1.19Po t t a ca l c i s l i ca l l . l i I
Prezzo del Ì 'oro 12,150 Toloneo ( teorema di ) 110.111.114,159
Princioi6 Torneo di pallacanestro 8.65
- clel cassetti 66,67,159 Torneo di poker 7.63
- di identità dei polinomi 109 Torneo di tennis 7.38.62,141
- di irrclusiole-esclusione 66.72 Topolino (area delle orecchie di) 20,87
- d i ind 'z ione b1.71.1,18 Totocalc io 10,72
Prodotto scalare 95.109 Trattore 156
Proclotto vettoriale 120
Progressione ar i t rnet ica -1.10.11.13.14.23.72.76. y ,
7g.g4 \ 'alore assoluto 133
Versore 109
a Ve t to re 95 .109 .120 .131
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- (da sudclividere in quadr:rtini) 9.-17
- (che rotola) ,14.Ió2
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Queslo volume, sprovvisto del talloncÌno a fronte (o opportuna-
mente punzonato o allr imenti contrassegnato), è da considerarsr
copia di SAGGIO-CA|\,4PlONE GRATUITO, fuori commercio (ven-
d ta e a l t r l a t t i d i d ispos lz ione v e ta t r : a r t . 17 l .d .a . ) . Esen le da
l .V .A. (D.PR. 26-10-1972. n . 633, a r t . 2 , le t t . d ) . Esente da bo la
d i a c c o m p a g n a m e n t o ( D . P . R . 6 - 1 0 - 1 9 7 8 n . 6 2 7 , a r t . 4 , n . 6 ) .
LE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA
Pht 4.1,E fl1 d." $.i trÌ I fl)t$. ii. l- F- iii,{}' il [i: f l',iix É". ] idù Pii'i:
a cura di FRANCO CONTI
e di MICHELE BARSANTI e TULLIO FRANZONI
Alle Olimpiadi Internazional i di Matematica partecipano ogni anno, dal 1959,
studenti delle scuole secondarie di tutto il mondo.
Le gare per selezionare i sei concorrenti italiani coinvolgono un numero
Sempre crescente di studenti e di insegnanti. Questo Successo si spiega,
al di là del lo spir i to sport ivo e del l 'occasione di incontro, anche con la qual i tà
dei problemi che vengono proposti. In essi, la matematica è campo di sfida
e, soprattutto, è fonte di divertimento intellettuale, alla ricerca di verità
e di dimostrazioni di f f ic i l i da conquistare.
I curatori, che sono fra gli organizzatori delle gare italiane,
hanno raccolto in questo l ibro 280 fra i problemi più bel l i , suddividendol i
per argomento e per difficoltà crescente. Anche nei casi più impegnativi,
le soluzioni suggeri te predi l igono I 'uso di strumenti famil iar i .
OLIIVPIADI DELLA MATEIVATICA
t s B N 8 8 - 0 8 - 0 9 0 1 6 - 7
,ltilxJu[uilillilil[ill
7 8 9 0 1 2 3 4 ( 0 3 o )
Al pubbl ico (1996-) L. 17 000" '
In anni successivl , n caso di evenìuale cambiamento prezzo
cons! l tare i l calalogo del l 'edi tore
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