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d

dt

(

∂f

∂ṗ′i

)


∂f

∂p′i
= q̇i −

∂H ′

∂p′i
= 0

Que son las ecuaciones de Hamilton para las variables (qi, p


i)

Para el resto de ejercicios a′ denota la derivada total de la variable a con respecto al tiempo t.

Ejercicio 8.9

Para este problema se hace un procedimiento análogo al que se hace en la formulación lagrangiana. Asi
entonces:

δS = δ

∫ t2

t1

q′ipi −H(qj , pj , t) − λiψi(qj , pj , t)dt

La variación se puede hacer ahora con n δqi, n δpi y m λi. Para esta problema las 2n ecuaciones de Euler-
Lagrange de interes son (siendo f el integrando de la ecuación anterior y k = 1, ..., n):

d

dt

(

∂f

∂q′
k

)


∂f

∂qk
= 0

d

dt

(

∂f

∂p′
k

)


∂f

∂pk
= 0

Sustituyendo para las primeras n ecuaciones obtenemos:

d

dt

(

∂(q′ipi −H(qj , pj , t) − λiψi(qj , pj , t))

∂q′
k

)


∂(q′ipi −H(qj , pj , t) − λiψi(qj , pj , t))

∂qk
= 0

dpk
dt

− (
∂(−H(qj , pj , t) − λiψi(qj , pj , t))

∂qk
) = 0

Reorganizando términos y teniendo en cuenta que hay suma sobre el ı́ndice repetido i nos queda:

−p′k =
∂H

∂qk
+ λi

∂ψi(qj , pj , t)

∂qk

Para las restantes n ecuaciones tenemos:

d

dt

(

∂(q′ipi −H(qj , pj , t) − λiψi(qj , pj , t))

∂p′
k

)


∂(q′ipi −H(qj , pj , t) − λiψi(qj , pj , t))

∂pk
= 0

Reorganizando los términos tenemos (De nuevo suma sobre i):

0 −

(

q′k −
∂H

∂pk
− λi

∂ψi(qj , pj , t)

∂pk

)

= 0

o

q′k =
∂H

∂pk
+ λi

∂ψi(qj , pj , t)

∂pk

Ejercicio 8.12

Usando la convención usada en el caṕıtulo 2 el lagrangiano del sistema se puede escribir como:

L =
m1 +m2

2
r’

2 +
1

2

m1m2
m1 +m2

R’
2
− U(R)

Usando coordenadas esfericas R, θ, φ para R y coordenadas rectangulares x, y, z para r y llamando µ= m1m2
m1+m2

y M = m1 +m2 tenemos:

2

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