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CÆlculo Diferencial
Efraín Soto Apolinar
Page 2
TÉRMINOS DE USO
∑
Derechos Reservados c© 2010.
Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.
Soto Apolinar, Efraín.
Cálculo Diferencial
Primera edición.
Incluye índice.
México. 2010.
El contenido de este libro corresponde al curso de Matemáticas para Bachillerato: Quinto Semestre
Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentra en este material,
bajo las siguientes condiciones:
Atribución: Debe dar crédito al autor del libro, independientemente del medio que se utilice para su
divulgación (impresa, electrónica, en línea, etc.)
Uso no comercial: No se permite el uso de este material ni de su contenido con fines comerciales y/o
lucro en forma alguna. Puede utilizarlo con fines educativos o de divulgación de las ciencias. Se
permite el uso por instituciones educativas públicas o privadas sin fines de lucro, con la condición
de que no se aplique cargo, ni en especie ni en moneda, ni en cualquier otra forma, a los usuarios
finales de este material, sean estos profesores, autoridades educativas, estudiantes o público en
general interesado en la enseñanza y/o el aprendizaje de las matemáticas.
No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este material. Usted tiene
permiso para utilizarlo «como está y es». No se permite ni agregar, ni eliminar, ni modificar: pal-
abras, u oraciones, o párrafos, o páginas, o subsecciones, o secciones, o capítulos o combinaciones
de las anteriores o parte alguna del libro.
Permisos: Puede contactar al autor de este material directamente a la cuenta de correo electrónico que
aparece en los créditos. Si usted tiene una copia de este libro en formato PDF y desea publicarlo
en algún sitio de Internet, primero solicite permiso al autor a través de un mensaje a la cuenta de
correo electrónico que aparece en los créditos. No requiere de permiso alguno para imprimir una
copia de este material para uso personal.
Responsabilidad: Ni el autor, ni el editor son responsables de cualquier pérdida o riesgo o daño (causal,
incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o interpretación de las definiciones que se
incluyen en este diccionario.
Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.
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96 Razones de cambio y la derivada
• Entonces, f ′(x ) =−1, y g ′(x ) = 4x 3.
• Ahora sustituimos estos valores en la regla:
d y
d x
=
�
x 4+1
�
(−1)− (1−x )
�
4x 3
�
�
x 4+1
�
=
−x 4−1−4x 3+4x 4
�
x 4+1
�
=
4x 4−4x 3−1
�
x 4+1
�
• Y terminamos.
Ejemplo 3
Calcula la derivada de la función:
y =
x 3−1
x 2+1
• Ahora definimos:
f (x ) = x 3−1 y g (x ) = x 2+1
• De aquí podemos fácilmente calcular:
f ′(x ) = 3x 2 y g ′(x ) = 2x
• Ahora sustituimos en la fórmula y obtenemos:
d y
d x
=
�
x 2+1
�
·
�
3x 2
�
−
�
x 3−1
�
· (2x )
�
x 2+1
�2
=
3x 4+3x 2−2x 4+2x
�
x 2+1
�2
=
x 4+3x 2+2x
�
x 2+1
�2
• Y terminamos.
Ejemplo 4
Calcula la derivada de la siguiente función:
y =
1
x 2
usando dos métodos diferentes.
• Primer mØtodo: Aplicamos la regla de la potencia.
• Usando las leyes de los exponentes la función puede escribirse de la forma:
y = x−2
www.aprendematematicas.org.mx Efraín Soto A.
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2.1 La derivada 97
• Ahora aplicamos la regla de la potencia:
d y
d x
=−2x−3 =−
2
x 3
• Segundo método: Aplicamos la regla para calcular la derivada de un cociente de dos funciones.
• Definimos: f (x ) = 1, y g (x ) = x 2.
• A partir de estas definiciones podemos calcular: f ′(x ) = 0, y g ′(x ) = 2x .
• Ahora sustituimos en la regla correspondiente:
d y
d x
=
�
x 2
�
· (0)− (1) · (2x )
�
x 2
� 2
=
−2x
x 4
= −
2
x 3
• Y terminamos.
• Se te queda como ejercicio calcular la derivada de la función usando la regla para el cálculo de la
derivada de un producto de dos funciones, definiendo f (x ) = 1, y g (x ) = x−2.
Como puedes ver, el uso de las reglas de derivación nos ahorran mucho trabajo (si eligieramos utilizar
la regla de los cuatro pasos) además de que podemos verificar algunos resultados usando otro método
alterno, pero igual de válido.
En el siguiente ejemplo también tendremos que verificar el resultado usando dos métodos para calcular
la derivada.
Ejemplo 5
Calcula la derivada de la siguiente función:
y =
x 4+1
x +1
por dos diferentes métodos.
• Primer método: Aplicamos la regla de la derivada de un cociente de dos funciones.
• Definimos: f (x ) = x 4+1, y g (x ) = x +1.
• Ahora podemos calcular: f ′(x ) = 4x 3, y g ′(x ) = 1.
• Sustituimos estos valores en la regla correspondiente:
d y
d x
=
(x +1) ·
�
4x 3
�
−
�
x 4+1
�
· (1)
(x +1)2
=
4x 4+4x 3−x 4−1
(x +1)2
=
3x 4+4x 3−1
(x +1)2
• Segundo método: Aplicamos la regla del producto de dos funciones.
Efraín Soto A. www.aprendematematicas.org.mx
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3.3 Aplicaciones de la derivada 197
6) Una compañía ha encontrado que las funciones de ingreso I (x ) y de costo C (x ) para una mesa de
campo son:
I (x ) = 125x −0.35x 2
C (x ) = 1 500+95x +0.15x 2
Calcula la cantidad x de esas mesas que deben producir para obtener la máxima utilidad.
7) La utilidad U que obtiene una compañía al vender ventanas de aluminio, cada una a p pesos, está
dada por:
U (p ) =−p 2+150 p −75
¿A qué precio deben ofertar las ventanas para obtener la mayor utilidad?
8) Daniel Valadéz, pintor Quintanarroense, ha encontrado que el costo C (x ) de producir x cuadros de
pintura al óleo mensualmente se puede calcular con:
C (x ) =
12 000
x
+120x
Calcula:
i. el costo marginal
ii. el número de obras que debe producir para minimizar el costo.
9) Un fabricante de tenis para soccer ha encontrado que el precio p y el número x de zapatos modelo
FEIYO que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:
p =
p
x
100
−
x
10 000
¿Qué precio le permite vender la mayor cantidad de pares de tenis para soccer?
10) Un fabricante de camisas guayaberas ha encontrado que el precio p y el número x de camisas modelo
MÉRIDA que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:
p =
p
7x
10
−
x
100
Por otra parte, saben que el costo C de producir x de esas camisas viene dado por:
C (x ) = 19 000+115x −0.001x 2
i. Determina x como una función de p . Sugerencia: Utiliza el cambio de variable:
p
7x = u .
ii. Expresa C (x ) como una función de p .
iii. Calcula el valor de p que minimiza el costo de producción.
iv. El precio p al que debe ofertar las camisas para obtener la mayor demanda.
11) La utilidad U de producir x artículos diariamente en una planta de fabricación de empaques es:
U (x ) = 750−125x +12x 2−0.75x 3
¿Qué producción diaria les trae la mayor utilidad?
Efraín Soto A. www.aprendematematicas.org.mx
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198 Valores máximos y mínimos y sus aplicaciones
CRÉDITOS
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas V escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir
estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar
Edición: Efraín Soto Apolinar
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar
Productor general: Efraín Soto Apolinar
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: December 7, 2012.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divul-
gados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
www.aprendematematicas.org.mx Efraín Soto A.
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∑
Derechos Reservados c© 2010.
Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.
Soto Apolinar, Efraín.
Cálculo Diferencial
Primera edición.
Incluye índice.
México. 2010.
El contenido de este libro corresponde al curso de Matemáticas para Bachillerato: Quinto Semestre
Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentra en este material,
bajo las siguientes condiciones:
Atribución: Debe dar crédito al autor del libro, independientemente del medio que se utilice para su
divulgación (impresa, electrónica, en línea, etc.)
Uso no comercial: No se permite el uso de este material ni de su contenido con fines comerciales y/o
lucro en forma alguna. Puede utilizarlo con fines educativos o de divulgación de las ciencias. Se
permite el uso por instituciones educativas públicas o privadas sin fines de lucro, con la condición
de que no se aplique cargo, ni en especie ni en moneda, ni en cualquier otra forma, a los usuarios
finales de este material, sean estos profesores, autoridades educativas, estudiantes o público en
general interesado en la enseñanza y/o el aprendizaje de las matemáticas.
No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este material. Usted tiene
permiso para utilizarlo «como está y es». No se permite ni agregar, ni eliminar, ni modificar: pal-
abras, u oraciones, o párrafos, o páginas, o subsecciones, o secciones, o capítulos o combinaciones
de las anteriores o parte alguna del libro.
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aparece en los créditos. Si usted tiene una copia de este libro en formato PDF y desea publicarlo
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incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o interpretación de las definiciones que se
incluyen en este diccionario.
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96 Razones de cambio y la derivada
• Entonces, f ′(x ) =−1, y g ′(x ) = 4x 3.
• Ahora sustituimos estos valores en la regla:
d y
d x
=
�
x 4+1
�
(−1)− (1−x )
�
4x 3
�
�
x 4+1
�
=
−x 4−1−4x 3+4x 4
�
x 4+1
�
=
4x 4−4x 3−1
�
x 4+1
�
• Y terminamos.
Ejemplo 3
Calcula la derivada de la función:
y =
x 3−1
x 2+1
• Ahora definimos:
f (x ) = x 3−1 y g (x ) = x 2+1
• De aquí podemos fácilmente calcular:
f ′(x ) = 3x 2 y g ′(x ) = 2x
• Ahora sustituimos en la fórmula y obtenemos:
d y
d x
=
�
x 2+1
�
·
�
3x 2
�
−
�
x 3−1
�
· (2x )
�
x 2+1
�2
=
3x 4+3x 2−2x 4+2x
�
x 2+1
�2
=
x 4+3x 2+2x
�
x 2+1
�2
• Y terminamos.
Ejemplo 4
Calcula la derivada de la siguiente función:
y =
1
x 2
usando dos métodos diferentes.
• Primer mØtodo: Aplicamos la regla de la potencia.
• Usando las leyes de los exponentes la función puede escribirse de la forma:
y = x−2
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2.1 La derivada 97
• Ahora aplicamos la regla de la potencia:
d y
d x
=−2x−3 =−
2
x 3
• Segundo método: Aplicamos la regla para calcular la derivada de un cociente de dos funciones.
• Definimos: f (x ) = 1, y g (x ) = x 2.
• A partir de estas definiciones podemos calcular: f ′(x ) = 0, y g ′(x ) = 2x .
• Ahora sustituimos en la regla correspondiente:
d y
d x
=
�
x 2
�
· (0)− (1) · (2x )
�
x 2
� 2
=
−2x
x 4
= −
2
x 3
• Y terminamos.
• Se te queda como ejercicio calcular la derivada de la función usando la regla para el cálculo de la
derivada de un producto de dos funciones, definiendo f (x ) = 1, y g (x ) = x−2.
Como puedes ver, el uso de las reglas de derivación nos ahorran mucho trabajo (si eligieramos utilizar
la regla de los cuatro pasos) además de que podemos verificar algunos resultados usando otro método
alterno, pero igual de válido.
En el siguiente ejemplo también tendremos que verificar el resultado usando dos métodos para calcular
la derivada.
Ejemplo 5
Calcula la derivada de la siguiente función:
y =
x 4+1
x +1
por dos diferentes métodos.
• Primer método: Aplicamos la regla de la derivada de un cociente de dos funciones.
• Definimos: f (x ) = x 4+1, y g (x ) = x +1.
• Ahora podemos calcular: f ′(x ) = 4x 3, y g ′(x ) = 1.
• Sustituimos estos valores en la regla correspondiente:
d y
d x
=
(x +1) ·
�
4x 3
�
−
�
x 4+1
�
· (1)
(x +1)2
=
4x 4+4x 3−x 4−1
(x +1)2
=
3x 4+4x 3−1
(x +1)2
• Segundo método: Aplicamos la regla del producto de dos funciones.
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3.3 Aplicaciones de la derivada 197
6) Una compañía ha encontrado que las funciones de ingreso I (x ) y de costo C (x ) para una mesa de
campo son:
I (x ) = 125x −0.35x 2
C (x ) = 1 500+95x +0.15x 2
Calcula la cantidad x de esas mesas que deben producir para obtener la máxima utilidad.
7) La utilidad U que obtiene una compañía al vender ventanas de aluminio, cada una a p pesos, está
dada por:
U (p ) =−p 2+150 p −75
¿A qué precio deben ofertar las ventanas para obtener la mayor utilidad?
8) Daniel Valadéz, pintor Quintanarroense, ha encontrado que el costo C (x ) de producir x cuadros de
pintura al óleo mensualmente se puede calcular con:
C (x ) =
12 000
x
+120x
Calcula:
i. el costo marginal
ii. el número de obras que debe producir para minimizar el costo.
9) Un fabricante de tenis para soccer ha encontrado que el precio p y el número x de zapatos modelo
FEIYO que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:
p =
p
x
100
−
x
10 000
¿Qué precio le permite vender la mayor cantidad de pares de tenis para soccer?
10) Un fabricante de camisas guayaberas ha encontrado que el precio p y el número x de camisas modelo
MÉRIDA que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:
p =
p
7x
10
−
x
100
Por otra parte, saben que el costo C de producir x de esas camisas viene dado por:
C (x ) = 19 000+115x −0.001x 2
i. Determina x como una función de p . Sugerencia: Utiliza el cambio de variable:
p
7x = u .
ii. Expresa C (x ) como una función de p .
iii. Calcula el valor de p que minimiza el costo de producción.
iv. El precio p al que debe ofertar las camisas para obtener la mayor demanda.
11) La utilidad U de producir x artículos diariamente en una planta de fabricación de empaques es:
U (x ) = 750−125x +12x 2−0.75x 3
¿Qué producción diaria les trae la mayor utilidad?
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198 Valores máximos y mínimos y sus aplicaciones
CRÉDITOS
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas V escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir
estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar
Edición: Efraín Soto Apolinar
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar
Productor general: Efraín Soto Apolinar
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: December 7, 2012.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divul-
gados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
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