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Table of Contents
                            Límites
	Límites
		Noción intuitiva de límite
		Teoremas de los límites
		Límites de funciones
		Límites en el infinito
	Teorema de continuidad de una función
		Condiciones de continuidad
		Teorema de valor intermedio y valores extremos
Razones de cambio y la derivada
	La derivada
		Razón de cambio promedio e instantánea
		La derivada como razón de cambio instantánea
		Interpretación geométrica de la derivada
		Diferenciabilidad en un intervalo
		Reglas del producto y del cociente
		Derivadas de funciones trigonométricas y sus inversas
		Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas
		Regla de la cadena
Valores máximos y mínimos y sus aplicaciones
	Aplicaciones de la primera derivada
		Máximos y mínimos
		Derivadas de orden superior
		Máximos y mínimos usando la segunda derivada
		Funciones crecientes y decrecientes
	Concavidad
		Puntos de inflexión
		Trazado de curvas
	Aplicaciones de la derivada
		Problemas prácticos de máximos y mínimos
		Aplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales
                        
Document Text Contents
Page 1

CÆlculo Diferencial

Efraín Soto Apolinar

Page 2

TÉRMINOS DE USO



Derechos Reservados c© 2010.
Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.

Soto Apolinar, Efraín.
Cálculo Diferencial
Primera edición.
Incluye índice.
México. 2010.

El contenido de este libro corresponde al curso de Matemáticas para Bachillerato: Quinto Semestre

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96 Razones de cambio y la derivada

• Entonces, f ′(x ) =−1, y g ′(x ) = 4x 3.

• Ahora sustituimos estos valores en la regla:

d y

d x
=



x 4+1


(−1)− (1−x )


4x 3




x 4+1


=
−x 4−1−4x 3+4x 4



x 4+1


=
4x 4−4x 3−1


x 4+1


• Y terminamos.

Ejemplo 3

Calcula la derivada de la función:

y =
x 3−1
x 2+1

• Ahora definimos:
f (x ) = x 3−1 y g (x ) = x 2+1

• De aquí podemos fácilmente calcular:

f ′(x ) = 3x 2 y g ′(x ) = 2x

• Ahora sustituimos en la fórmula y obtenemos:

d y

d x
=



x 2+1


·


3x 2





x 3−1


· (2x )


x 2+1
�2

=
3x 4+3x 2−2x 4+2x



x 2+1
�2

=
x 4+3x 2+2x


x 2+1
�2

• Y terminamos.

Ejemplo 4

Calcula la derivada de la siguiente función:

y =
1

x 2

usando dos métodos diferentes.

• Primer mØtodo: Aplicamos la regla de la potencia.

• Usando las leyes de los exponentes la función puede escribirse de la forma:

y = x−2

www.aprendematematicas.org.mx Efraín Soto A.

Page 102

2.1 La derivada 97

• Ahora aplicamos la regla de la potencia:

d y

d x
=−2x−3 =−

2

x 3

• Segundo método: Aplicamos la regla para calcular la derivada de un cociente de dos funciones.

• Definimos: f (x ) = 1, y g (x ) = x 2.

• A partir de estas definiciones podemos calcular: f ′(x ) = 0, y g ′(x ) = 2x .

• Ahora sustituimos en la regla correspondiente:

d y

d x
=



x 2


· (0)− (1) · (2x )


x 2
� 2

=
−2x

x 4

= −
2

x 3

• Y terminamos.

• Se te queda como ejercicio calcular la derivada de la función usando la regla para el cálculo de la
derivada de un producto de dos funciones, definiendo f (x ) = 1, y g (x ) = x−2.

Como puedes ver, el uso de las reglas de derivación nos ahorran mucho trabajo (si eligieramos utilizar
la regla de los cuatro pasos) además de que podemos verificar algunos resultados usando otro método
alterno, pero igual de válido.

En el siguiente ejemplo también tendremos que verificar el resultado usando dos métodos para calcular
la derivada.

Ejemplo 5

Calcula la derivada de la siguiente función:

y =
x 4+1
x +1

por dos diferentes métodos.

• Primer método: Aplicamos la regla de la derivada de un cociente de dos funciones.

• Definimos: f (x ) = x 4+1, y g (x ) = x +1.

• Ahora podemos calcular: f ′(x ) = 4x 3, y g ′(x ) = 1.

• Sustituimos estos valores en la regla correspondiente:

d y

d x
=

(x +1) ·


4x 3





x 4+1


· (1)
(x +1)2

=
4x 4+4x 3−x 4−1

(x +1)2

=
3x 4+4x 3−1
(x +1)2

• Segundo método: Aplicamos la regla del producto de dos funciones.

Efraín Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

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3.3 Aplicaciones de la derivada 197

6) Una compañía ha encontrado que las funciones de ingreso I (x ) y de costo C (x ) para una mesa de
campo son:

I (x ) = 125x −0.35x 2

C (x ) = 1 500+95x +0.15x 2

Calcula la cantidad x de esas mesas que deben producir para obtener la máxima utilidad.

7) La utilidad U que obtiene una compañía al vender ventanas de aluminio, cada una a p pesos, está
dada por:

U (p ) =−p 2+150 p −75

¿A qué precio deben ofertar las ventanas para obtener la mayor utilidad?

8) Daniel Valadéz, pintor Quintanarroense, ha encontrado que el costo C (x ) de producir x cuadros de
pintura al óleo mensualmente se puede calcular con:

C (x ) =
12 000

x
+120x

Calcula:

i. el costo marginal

ii. el número de obras que debe producir para minimizar el costo.

9) Un fabricante de tenis para soccer ha encontrado que el precio p y el número x de zapatos modelo
FEIYO que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:

p =
p

x

100


x

10 000

¿Qué precio le permite vender la mayor cantidad de pares de tenis para soccer?

10) Un fabricante de camisas guayaberas ha encontrado que el precio p y el número x de camisas modelo
MÉRIDA que logra vender a ese precio están relacionados por la expresión:

p =
p

7x

10


x

100

Por otra parte, saben que el costo C de producir x de esas camisas viene dado por:

C (x ) = 19 000+115x −0.001x 2

i. Determina x como una función de p . Sugerencia: Utiliza el cambio de variable:
p

7x = u .

ii. Expresa C (x ) como una función de p .

iii. Calcula el valor de p que minimiza el costo de producción.

iv. El precio p al que debe ofertar las camisas para obtener la mayor demanda.

11) La utilidad U de producir x artículos diariamente en una planta de fabricación de empaques es:

U (x ) = 750−125x +12x 2−0.75x 3

¿Qué producción diaria les trae la mayor utilidad?

Efraín Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

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198 Valores máximos y mínimos y sus aplicaciones

CRÉDITOS
Albert

Einstein

Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.

Este material se extrajo del libro Matemáticas V escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir
estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor.

Autor: Efraín Soto Apolinar

Edición: Efraín Soto Apolinar

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar

Productor general: Efraín Soto Apolinar

Año de edición: 2010

Año de publicación: Pendiente.

Última revisión: December 7, 2012.

Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.

Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divul-
gados entre otros profesores y sus alumnos.

Este material es de distribución gratuita.

Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:

[email protected]

www.aprendematematicas.org.mx Efraín Soto A.

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