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Page 1

Curso intermedio de

PROBABILIDAD

Luis Rincón

Departamento de Matemáticas

Facultad de Ciencias UNAM

Circuito Exterior de CU

04510 México DF

Versión: Octubre 2007

Una versión actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato

electrónico en la dirección http://www.matematicas.unam.mx/lars

Page 2

ii

Page 198

188 3.13. Ejercicios

278. Sea (X,Y ) un vector con función de distribución F (x, y), y con dis-
tribuciones marginales F (x) y F (y), respectivamente. Demuestre que
para todo x y y en R,

F (x) + F (y) − 1 ≤ F (x, y) ≤


F (x)F (y).

279. Cotas de Fréchet. Sea (X,Y ) un vector con función de distribución
F (x, y), y con distribuciones marginales F (x) y F (y), respectivamente.
Demuestre que para todo x y y en R,

máx{F (x) + F (y) − 1, 0} ≤ F (x, y) ≤ mı́n{F (x), F (y)}.

280. Considere el espacio Ω = (0, 1)×(0, 1) junto con la σ-álgebra B((0, 1)×
(0, 1)) y P la medida de probabilidad uniforme sobre Ω. Sea (X,Y ) el
vector aleatorio definido sobre este espacio de probabilidad dado por
X(ω1, ω2) = ω1 ∧ ω2 y Y (ω1, ω2) = ω1 ∨ ω2. Demuestre que (X,Y ) es
efectivamente un vector aleatorio y encuentre su función de distribu-
ción.

Densidad conjunta

281. Demuestre que la función de densidad de un vector (X,Y ) absoluta-
mente continuo puede ser encontrada, a partir de la función de distri-
bución, de las siguientes formas alternativas:

a) f(x, y) =
∂2

∂x∂y
P (X > x, Y > y).

b) f(x, y) = − ∂
2

∂x∂y
P (X ≤ x, Y > y).

c) f(x, y) = − ∂
2

∂x∂y
P (X > x, Y ≤ y).

282. Grafique y demuestre que las siguientes funciones son de densidad.

a) f(x, y) =
1

ab
, para 0 < x < a, 0 < y < b.

Page 199

Caṕıtulo 3. Vectores aleatorios 189

b) f(x, y) = 4xy, para 0 ≤ x, y ≤ 1.
c) f(x, y) = 6x2y, para 0 ≤ x, y ≤ 1.
d) f(x, y) = 9x2y2/4, para −1 ≤ x, y ≤ 1.
e) f(x, y) = e−x−y, para x, y > 0.

f ) f(x, y) = e−x, para 0 < y < x.

283. Calcule la constante c que hace a f una función de densidad.

a) f(x) = c x, para 0 ≤ x ≤ 1.
b) f(x, y) = c x, para 0 < y < x < 1.

c) f(x, y) = c (x+ y), para 0 ≤ x, y ≤ 1.
d) f(x, y) = c (1 − x)(1 − y) para −1 < x, y < 1.
e) f(x, y) = c x(y − x) para 0 < x < y < 1.
f ) f(x, y) = c (x2 + 1

2
xy), para 0 < x < 1, 0 < y < 2.

g) f(x, y, z) = c (x+ y + z), para 0 ≤ x, y, z ≤ 1.
h) f(x, y, z) = c x(y − x)(z − y), para 0 < x < y < z < 1.
i) f(x1, . . . , xn) = c (x1 + · · · + xn), para 0 ≤ x1, . . . , xn ≤ 1.

284. Encuentre la función de densidad del vector (X,Y ) cuya función de
distribución es

a) F (x, y) = (1 − e−x)(1
2

+
1

π
tan−1 y), para x > 0, y ∈ R.

b) F (x, y) = 1 − e−x − e−y + e−x−y, para x, y > 0.

285. Encuentre la función de distribución del vector (X,Y ) cuya función
de densidad es

a) f(x, y) =
1

ab
, para 0 < x < a, 0 < y < b.

b) f(x, y) = e−x−y, para x, y > 0.

c) f(x, y) = e−y, para 0 < x < y.

d) f(x, y) = 2e−x−y, para 0 < x < y.

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386 Índice

de una función de un vector, 168
de una función de una v.a., 88
de una v.a., 85

Estad́ıstica, 261
Estad́ısticas de orden, 272
Evento, 2

casi seguro, 80
compuesto, 2
simple, 2

Fórmula
de inclusión y exlusión, 51

Función
beta, 104
Borel medible, 61
de acumulación de prob, 68
de densidad, 75
de masa de probabilidad, 75
de probabilidad, 75
gama, 102
indicadora, 376
medible, 112
signo, 111

Función caracteŕıstica, 323
fórmula de inversión, 330, 333
teorema de continuidad, 334
teorema de unicidad, 333

Función de densidad, 76
condicional, 160
conjunta, 152
marginal, 158

Función de distribución, 68
condicional, 161
conjunta, 144
marginal, 156

Función de probabilidad
acumulada, 68
conjunta, 149

Función generadora
de momentos, 317
de momentos factoriales, 316
de probabilidad, 311

Igualdad
casi segura, 80
en distribución, 80

Imagen inversa, 375
Independencia

de σ-álgebras, 36
de clases, 36
de eventos, 34
de v.a.s, 163
de vectores, 167

Integral de Riemann-Stieltjes, 81

Ĺımite inferior
de eventos, 15
de números, 374

Ĺımite superior
de eventos, 15
de números, 374

Lema de Abel, 374
Ley de eventos raros, 132
Ley de los grandes números, 352

débil, 352
en media cuadrática, 362
fuerte, 354

Matriz
de correlación, 181

Page 397

Índice 387

de covarianzas, 180
Media, 85

muestral, 262
Mediana

de una v.a., 93
muestral, 285

Medibilidad, 58
Medida de probabilidad, 2, 20

inducida, 58
inducida por una v.a., 112

Moda
de una v.a., 94

Momentos, 92
absolutos, 92
centrales, 92
centrales absolutos, 92
factoriales, 92

Muestra aleatoria, 261

Paradoja
de San Petersburgo, 119

Probabilidad
axiomática, 20
clásica, 21
frecuentista, 353
geométrica, 22

Problema de los momentos, 92

Rango
de una m.a., 276

Regla del producto, 53

Semiálgebra, 10

Teorema
central del ĺımite, 358

de Bernoulli, 352
de cambio de variable, 230, 233,

236
de convergencia dominada, 305
de convergencia monótona, 303
de de Moivre-Laplace, 357
de Poisson, 132

Valor
esperado, 85
medio, 85
promedio, 85

Variable aleatoria, 58
continua, 75, 76
discreta, 75
mixta, 77
singular, 76, 77

Varianza
condicional, 223
de un vector, 179
de una v.a., 90
muestral, 262

Vector aleatorio, 141
continuo, 143
discreto, 143

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