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Page 1

Hans Josef Löhr

Beispiele und Aufgaben
zur
Laplace-Tra nsforlnat ion

mit 167 Beispielen
und 37 Aufgaben

Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden

Page 2

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek

Löhr, Hans loser:
Beispiele und Aufgaben zur Laplace-Transforma-
tion: mit 167 Beispielen u. 37 Aufgaben/Hans
Josef Löhr. - Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg,
1979.

Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1979

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Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig

ISBN 978-3-663-00111-9 ISBN 978-3-663-00110-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-00110-2

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Zur einfacheren Berechnung der Detenninante subtrahieren wir die dritte Spalte von der
zweiten.

0

D= 2 2j
3
2

2
1 1.
2-2J

Subtrahieren wir nun die erste Spalte von der dritten, so erhalten wir:

0 0
2

2
D= 2 2j

1
=j

2 3 1.

3 1.
-2-2J

2 -2-2J

. (3 . 1.) 5. = J - - J + 2 + J = - 2J
Wir berechnen nun die Unterdetenninanten D Al und D A2 .

0 1

DAI =
3 3
-+
2 2

3 1 + 1.
1 1.

2 2J 2-2J

Wir subtrahieren die dritte von der zweiten Spalte:

o 0 1

2j
3

= j I ~ ~ 1=j(1-6)=-5j . 2
1 1.
2-2J 3

0

3
2

3
1 1.
2-2J 2

98

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Wir subtrahieren die erste von der dritten Spalte:

0 0 1
2 5.

DA2 = 2 2 3 = 2J· 1.
3 -2-2J

3 l.
2 3 -2-2J

Mit den berechneten Werten erhalten wir:

Wegen Al + A2 + A3 = 0 folgt A3 = - 1.
Wir können nun die Partialbruchzerlegung von F (s) durchführen:

F (s) = 1 1 1 1
(s+1/2) 2(s+1-j) 2(s+1+j)'

(b)

Mit Hilfe von T6 finden wir die Original funktion:

f(t) = e- t/2 _le(-l +j)t _le(-l-j)t
2 2

eH + e- jt
= e- t/2 - e- t 2 = e- t/2 - e- t cos(t).

b) Wir berechnen zuerst die in Formel (3.1) benötigten Konstanten.

Z (_l)=~
2 2'

Z(-1+j)=2+j, Z(-l-j) = 2-j.

WegenN'(s) = 2(S2+2s+2)+(2s+ 1)(2s+2) ist:

N' (-~)=~, N'(-1+j)=-2(2+j), N'(-l-j)=-2(2-j).

Setzen wir diese Werte in Formel (3.1) ein, so erhalten wir in Übereinstimmung mit Glei-
chung (b):

1 1 1 1 1
F(s)=(s+1/2) 2(s+1-j) 2(s+1+j)'

Auch hier führt die Methode B schneller zum Ziel.

Dem Leser wird aufgefallen sein, daß die Partialbruchzerlegung die Bildfunktion F (s) des
Beispiels 3-13 in drei Summanden zerlegt, während die Originalfunktion f(t) nur aus
zwei Summanden besteht. Das legt den Gedanken nahe, ob man in manchen Fällen nicht

99

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Literaturverzeichnis

Ameling, w.: Laplace -Transformation, Bertelsmann Universitätsverlag, Düsseldorf /
Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1975

BYÜderlink, R.: Laplace-Transformation und Elektrische Ausgleichsvorgänge, Verlag G.
Braun, Karlsruhe 1964

Doetsch, G.: Anleitung zum Gebrauch der Laplace-Transformation, R. Oldenbourg Ver-
lag, München 1961

Doetsch, G.: Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Birk-
häuser Verlag, Basel und Stuttgart 1958

Doetsch, G.: Handbuch der Laplace-Transformation, Birkhäuser Verlag, Basel und Stutt-
gart 1958

Holbrook, J. G.: Laplace-Transformation, Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1973

Oberhettinger, F., Badii, L.: Tables of Laplace Transforms, Springer-Verlag Berlin Heidel-
berg New York 1973

Spiegel, M. R.: Theory and Problems of Laplace Transforms, Schaum Publishing Co.,
New York 1965

Uszczapowski, G.: Die Laplace-Transformation, Verlag Harri Deutsch, Zürich und Frank-
furt a. M. 1974

Weber, H.: Laplace-Transformation für Ingenieure der Elektrotechnik, B. G. Teubner,
Stuttgart 1976

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Helmut Lindner und Edgar Balcke

Elektro-Aufgaben

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Band 11: Wechselstrom. Mit 306 Abb. 13., überarb. Aufl 1976. 144 S. D IN C 5
(Viewegs Fachbücher der Technik). Kart.

Band 111: Leitungen, Vierpole, Fourier-Analyse, Laplace-Transformation. Mit
257 Abb. 1977. 127 S. DIN C 5 (Viewegs Fachbücher der Technik). Kart.

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stützen das Verständnis des knapp gefaßten Textes. Komplizierte Zusammen-
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