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Raciocínio Lógico Prof. Nelson Carnaval

ESPAÇO HEBER VIEIRA
Rua Corredor do Bispo, 85, Boa Vista, Recife/PE Página 1
F.: 3222-6231 – www.espacohebervieira.com.br

LÓGICA
PROPOSICIONAL




Proposição

Chama-se proposição toda sentença declarativa
que pode ser classificada em verdadeira ou falsa,
mas não as duas. Letras são usualmente utilizadas
para denotar proposições. As letras convencionais
para esse propósito são p,q,r,s,... .
O valor lógico de uma proposição verdadeira é de-
notado por V e o de uma proposição falsa é repre-
sentado por F.

São exemplos de proposições:

p : O Brasil exporta minérios.
q : Márcia não foi ao shopping.
r : O número 1 é primo.
s: zero é um número par.

Não são proposições:


1. Que dia é hoje?
2. Esta frase é falsa.
3. x + 10 = 25
4. Ele é jogador de futebol.
5. Que Deus lhe ajude.

As sentenças optativas, interrogativas, exclama-
tivas e imperativas não são consideradas proposi-
ções.
Também não são proposições as chamadas sen-
tenças abertas ou funções proposicionais, como 3 e
4. Ao atribuirmos um valor para a variável, a sen-
tença aberta se transforma em proposição.
Sendo assim, são proposições as sentenças:
7 + 10 = 25
Lúcio é jogador de futebol.

A sentença “Esta frase é falsa” não é uma propo-
sição porque é impossível definirmos se ela é ver-
dadeira ou falsa. Se dissermos que ela é verdadei-
ra, então ela será falsa. E ao contrário, se disser-
mos que ela é falsa, então ela será verdadeira.

As três leis do pensamento

A lógica formal ou aristotélica se baseia em três
princípios fundamentais, chamados “leis do pensa-
mento”.


1) Se qualquer proposição é verdadeira, então
ela é verdadeira. (Princípio da identidade)


2) Nenhuma proposição pode ser verdadeira e

falsa, ao mesmo tempo, sob uma mesma
condição. (Princípio da não-contradição)




3) Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.

(Princípio do terceiro excluído)





Proposição composta


Denomina-se proposição composta a proposi-
ção formada (ou conectada) por duas ou mais pro-
posições simples.

Ao fazermos uso da linguagem combinamos i-
déias simples através de conectivos como “e”, “ou”,
“se..., então”, “se, e somente se” obtendo, então,
proposições compostas.

O valor lógico de uma proposição composta é
totalmente determinado pelos valores lógicos das
proposições simples que a constituem e pela forma
como elas estão ligadas através do conectivo.

Exemplos:

1) João é alto e Mário é gordo.
2) A governanta mentiu ou o cozinheiro é culpado.
3) Se Sócrates é homem, então ele é mortal.
4) Um número natural é par se e somente se não

for ímpar.



Tabela-verdade

É muito importante a organização da valoração
das proposições em uma tabela que é chamada
tabela-verdade.
O número de linhas da tabela depende da quan-
tidade das proposições iniciais.
Se houver uma proposição, existirão duas linhas
(V e F); se houver duas proposições, existirão qua-
tro linhas (VV, VF, FV, FF); se houver três proposi-
ções, existirão oito linhas; se houver n proposições,
existirão 2n linhas.



Conectivo “e”


Quando duas proposições simples são ligadas
pelo conectivo e, a proposição composta é chama-
da conjunção das proposições simples iniciais.

A proposição composta “p e q” é representada
simbolicamente por p q

Tabela-verdade:


p q p q
V V V
V F F
F V F
F F F


Conclusão:

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“ A proposição p q só é verdadeira se as proposi-
ções p e q forem verdadeiras”.

Exemplos:

(V) A Terra gira em torno do Sol e 3 é ímpar.

(F) 2 é primo e 13 é composto.












Conectivo “ou”


Quando duas proposições simples são ligadas
pelo conectivo ou, a proposição composta resul-
tante é chamada disjunção das proposições sim-
ples iniciais.

A proposição “p ou q” é representada simboli-
camente por p  q


Tabela-verdade:


p q p q
V V V
V F V
F V V
F F F


Conclusão:

“A proposição p q só é falsa se as proposições p
e q forem falsas”.

Exemplos:

(V) 2+4 = 7 ou 3+5 = 8


(F) 4 é ímpar e 1 é primo.




Modificador “não”

O operador “não” é utilizado para formar a nega-
ção de uma proposição.

A negação de uma proposição p é representada
por ~ p, que é verdadeira quando p é falsa e é
falsa quando p é verdadeira.
A negação de uma proposição pode também
ser feita utilizando expressões como “é falso dizer

que” ,”não é verdade que”, etc.
Assim, a negação da proposição “O gato mia”,
pode ser “O gato não mia”, “Não é verdade que o
gato mia” ou “É falso dizer que o gato mia”.


Tabela-verdade:


p ~ p
V F
F V




Conectivo “se..., então”


As sentenças que têm a forma “se p, então q”,
são chamadas de proposições condicionais e re-
presentadas simbolicamente por p  q.

Tabela-verdade:


p q p  q
V V V
V F F
F V V
F F V


Conclusão :

“A proposição composta p  q só é falsa se p é
verdadeira e q é falsa”.

Exemplos:

(V) Se Maceió é a capital de Sergipe, então Belém
é a capital do Piauí.

(F) Se 2 é par e primo, então 3 é ímpar e compos-
to.



Conectivo “se, e somente se”

As sentenças que têm a forma “p se, e somente

se, q” são chamadas de proposições bicondicionais
e são representadas por p  q.

Tabela-verdade:


p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F V


Conclusão:

“A proposição composta p  q só é falsa se só
uma das proposições p e q for falsa”.

Exemplos:

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Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Bea-
triz”.


Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites
estão completamente errados; nenhuma de vo-
cês acertou sequer um dos resultados do sor-
teio” !
Um estudante de Lógica, que a tudo assistia,
concluiu então, corretamente, que os papéis
sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia fo-
ram, respectivamente,


a) rainha, bruxa, princesa, fada.
b) rainha, princesa, governanta, fada.
c) fada, bruxa, governanta, princesa.
d) rainha, princesa, bruxa, fada.
e) fada, bruxa, rainha, princesa.







07. Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão

diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e
é mais moço do que o engenheiro e mais velho
do que Oscar. O agrônomo, o economista e
Mário residem no mesmo bairro. O economista,
o matemático e Luís são, todos, torcedores do
Flamengo.

O matemático costuma ir ao cinema com Mário
e Nédio. O economista é mais velho do que
Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua
vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo,



a) Mário é engenheiro, e o matemático é mais
velho do que o agrônomo, e o economista é
mais novo do que Luís.

b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais
velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho
do que o matemático.

c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais ve-
lho do que o engenheiro, e Oscar é mais ve-
lho do que o agrônomo.

d) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho
do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do
que o matemático.

e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais ve-
lho do que o matemático, e Mário é mais ve-
lho do que o economista.



08. Em um posto de fiscalização da PRF, os veícu-

los A, B e C foram abordados, e os seus condu-
tores, Pedro, Jorge e Mário, foram autuados pe-
las seguintes infrações: (i) um deles estava diri-
gindo
alcoolizado; (ii) outro apresentou a CNH venci-
da; (iii) a CNH apresentada pelo terceiro moto-
rista era de categoria inferior à exigida para
conduzir o veículo que ele dirigia. Sabe-se que
Pedro era o condutor do veículo C; o motorista
que apresentou a CNH vencida conduzia o veí-
culo B; Mário era quem estava dirigindo alcooli-

zado.
Com relação a essa situação hipotética, julgue
os itens que se seguem. Caso queira, use a ta-
bela na coluna de rascunho como auxílio.



I A CNH do motorista do veículo A era de cate-
goria inferior à exigida.


II Mário não era o condutor do veículo A.


III Jorge era o condutor do veículo B.


IV A CNH de Pedro estava vencida.


V A proposição “Se Pedro apresentou CNH
vencida, então Mário é o condutor do veículo B”
é verdadeira.


Estão certos apenas os itens
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) III e V.
e) IV e V.



09. Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna

seguiram diferentes profissões e hoje uma de-
las é arquiteta, outra é psicóloga, e outra é eco-
nomista. Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta
ou Dalva é a arquiteta. Sabe-se ainda que ou
Dalva é a psicóloga ou Valna é a economista.
Sabe-se, também, que ou Beatriz é a econo-
mista ou Valna é a economista. Finalmente, sa-
be-se que ou Beatriz é a psicóloga ou Valna é a
psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e
Valna são, pois, respectivamente:
a) psicóloga, economista, arquiteta.
b) arquiteta, economista, psicóloga.
c) arquiteta, psicóloga, economista.
d) psicóloga, arquiteta, economista.
e) economista, arquiteta, psicóloga.




10. São cinco casas, cada uma de cor diferente,

habitadas por homens de nacionalidades dife-
rentes, fumando cigarros diferentes, tomando
bebidas diferentes e tendo animais diferentes.


1- O inglês mora na casa vermelha.
2- O espanhol tem um cachorro.
3- Na casa verde bebe-se café.
4- O ucraniano bebe chá.
5- A casa verde fica na extrema direita e ime-

diatamente à esquerda a casa de cor mar-
fim.

6- O homem que fuma MINISTER é dono dos
caramujos.

7- Fuma-se MALBORO na casa amarela.
8- Na casa do meio bebe-se leite.

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9- O norueguês mora na primeira casa à es-
querda.

10- O homem que fuma LS mora na casa ao la-
do do homem da raposa

11- Fuma-se MALBORO ao lado esquerdo em
que se guarda o cavalo.

12- Quem fuma ORLEANS bebe suco de laran-
ja.

13- O japonês fuma HOLLYWOOD.
14- O norueguês mora pegado à casa azul.
15- O dono do cachorro mora na casa cor de

marfim.


Pergunta-se:


a) Quem bebe a água?


b) Quem é o dono da zebra?






Em torno da mesa

01. Em torno de uma mesa quadrada, encontram-

se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o
mais antigo entre eles, é mineiro. Há também
um paulista, um carioca e um baiano. Paulo es-
tá sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita
do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não
é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,

a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.
b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.
c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.
d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.
e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.


02. Seis membros de uma equipe de trabalho – Ari,

Bento, Carlos, Davi, Élson e Fernando – senta-
ram-se nas seis cadeiras que estavam ao redor
de uma mesa de formato circular. Sabe-se que
um deles usava óculos, outro era tagarela, ou-
tro era excessivamente magro, outro detestava
Davi, outro tinha 25 anos e o último era solteiro,
características estas próprias de apenas um de-
les. Considere que



- a pessoa que detestava Davi sentou-se à
frente de Bento;


- o que usava óculos sentou-se diante de Car-
los que, por sua vez, estava entre o que tinha
25 anos e o que detestava Davi;


- o homem excessivamente magro sentou-se à
frente de Ari, ao lado do que usava óculos e
imediatamente à esquerda daquele que detes-
tava Davi;


- a pessoa de 25 anos sentou-se entre Carlos
e o homem que sentou-se à frente daquele que
detestava Davi;


- Fernando que tinha um ótimo relacionamento
com todos, sentou-se ao lado do homem ex-
cessivamente magro e defronte ao solteiro.

Nessas condições, é correto afirmar que o ho-
mem de 25 anos era

a) Ari
b) Bento
c) Davi
d) Élson
e) Fernando








Questões de ordem

01. Marta corre tanto quanto Rita e menos do que

Juliana. Fátima corre tanto quanto Juliana. Lo-
go:


a) Fátima corre menos do que Rita;
b) Fátima corre mais do que Marta;
c) Juliana corre menos do que Rita;
d) Marta corre mais do que Juliana;
e) Juliana corre menos do que Marta.


02. Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos

gorda do que Bruna, logo:


a) Vera é mais gorda do que Bruna;
b) Cátia é menos gorda do que Bruna;
c) Bruna é mais gorda do que Cátia;
d) Vera é menos gorda do que Cátia;
e) Bruna é menos gorda do que Vera.


03. Em uma avenida reta, a padaria fica entre o

posto de gasolina e a banca de jornal, e o pos-
to de gasolina fica entre a banca de jornal e a
sapataria. Logo:


a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a

padaria;
b) a banca de jornal fica entre o posto de ga-

solina e a padaria;
c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a

banca de jornal;
d) a padaria fica entre a sapataria e o posto

de gasolina;
e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e

a padaria.

04. Assinale a opção que contém a seqüência cor-

reta das quatro bolas, de acordo com as afir-
mativas abaixo:


I - A bola amarela está depois da branca;
II - A bola azul está antes da verde;
III - A bola que está imediatamente após a
azul é maior do que a que está antes dessa;

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Multiplicação de Probabilidade

A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é
igual à probabilidade de ocorrer A vezes a probabi-
lidade de ocorrer B, depois que A ocorreu.





Exemplos:


1) Se retirarmos sucessivamente e sem reposição

duas cartas de um baralho, qual é a probabili-
dade de obtermos duas cartas de ouro?




2) Uma urna tem 30 bolas sendo dez brancas e

vinte pretas. Se sorteamos duas bolas, uma de
cada vez e sem reposição, qual será a probabi-
lidade de a primeira ser branca e a segunda ser
preta.


EXERCÍCIOS


1. Um casal pretende ter três filhos. Qual é a pro-

babilidade de serem dois homens e uma mu-
lher?




2. Se retirarmos uma carta de um baralho, qual é

a probabilidade dela ser de espadas ou uma
dama?




3. Retirando-se aleatoriamente uma carta de um

baralho com 52 cartas, qual é a probabilidade
de sair um rei ou uma dama?




4. No lançamento simultâneo de dois dados, de-

terminar a probabilidade de termos números pa-
res nas duas faces sabendo que a soma é 6.




5. Sabendo-se que a face sorteada de um dado é

maior que 2, descubra a probabilidade de o
número ser par.




6. Cinco candidatos a prefeito participam de um

debate. De uma urna contendo os nomes dos
cinco candidatos o organizador do debate sor-
teia um candidato que fará uma pergunta e a
seguir sorteia (de uma segunda urna também

contendo os nomes dos candidatos) um candi-
dato para responder a pergunta. Determine a
probabilidade (percentual) de um mesmo can-
didato ser escolhido nos dois sorteios.







7. Numa urna existem 25 bolas numeradas de 1 a

25. Extraindo-se uma bola, ao acaso, qual é a
probabilidade de se obter um número que seja
divisor de 15 ou divisor de 20?




8. Dos 40 alunos de uma classe, 8 foram reprova-

dos em Matemática, 10 em Física e 4 em Ma-
temática e Física. Se um aluno é escolhido ale-
atoriamente, sabendo que ele foi reprovado em
Física, qual é a probabilidade de ter sido repro-
vado também em Matemática?



9. Numa empresa trabalham 10 homens e 5 mu-

lheres. Para formar uma comissão de 4 pesso-
as é feito um sorteio. Qual é a probabilidade da
comissão ser formada por 2 homens e 2 mulhe-
res?




10. Numa turma de estudantes têm-se 15 rapazes

e 10 moças. Se escolhermos, ao acaso, dois
dos estudantes, qual é a probabilidade de que
sejam um rapaz e uma moça?




11. 90 jovens entrevistados para uma pesquisa

eleitoral responderam de acordo com os dados
da tabela:


Cand. A Cand. B Nenhum

Rapazes 20 22 8
Moças 15 20 5


Escolhida, ao acaso, uma dessas pessoas entrevis-
tadas, qual é a probabilidade de:

a) Ser eleitor do candidato A, se já se sabe que o

escolhido é um rapaz?
b) Ser um rapaz, sabendo-se que ele é eleitor do

candidato B?
c) Ser uma moça eleitora do candidato B?
d) Não votar em nenhum destes candidatos?

12. Em uma caixa existem 7 lâmpadas boas e 6

defeituosas. Retirando-se três delas ao acaso,
qual é a probabilidade de que sejam:
a) Pelo menos uma boa?
b) Duas boas e uma defeituosa?

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13. Enfileirando-se aleatoriamente sete crianças de
idades diferentes, qual a probabilidade (P) de
que cada uma das três crianças com idades
menores fique intercalada entre duas das qua-
tro crianças de idades maiores? Marque 35P.





14. Depois de escrever cartas para Júnior, Daniel,

Renato e Samuel, Antônio lacra os envelopes
sem identificar qual carta cada um deles conti-
nha. Se Antônio escreve aleatoriamente os en-
dereços nos envelopes, seja p a probabilidade
de Júnior e Daniel receberem as cartas que
lhes eram destinadas. Indique o inteiro mais
próximo de 100p.





15. Escolhendo aleatoriamente um natural no con-

junto {1, 2, ..., 100} de naturais sucessivos, seja
p a probabilidade deste natural ser divisível por
2 ou por 3. Indique 100p.






16. Um economista apresenta proposta de trabalho

às empresas X e Y, de modo que: a probabili-
dade de ele ser contratado pela empresa X é de
0,61, a de ser contratado pela empresa Y é de
0,53 e a de ser contratado pelas duas empre-
sas é de 0,27. Determine a probabilidade (p) de
o economista não ser contratado por nenhuma
das empresas e indique 100p.



17. Uma escola comprou computadores das em-

presas X e Y. Quarenta por cento dos compu-
tadores foram comprados da empresa X e os
demais da empresa Y. A probabilidade de um
computador fabricado por X apresentar defeito
no primeiro ano de uso é 0,10 e se fabricado
por Y é de 0,15. Se um destes computadores é
escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade
percentual de ele não apresentar defeito no
primeiro ano de uso?




18. Um baralho comum contém 52 cartas de 4

tipos (naipes) diferentes: paus , espadas ,
copas e ouros . Em cada naipe, que con-
siste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm
as figuras do rei, da dama e do valete, res-

pectivamente. Com base nessas informa-
ções, julgue os itens subseqüentes.


18.1. A probabilidade de se extrair aleatoriamen-
te uma carta de um baralho e ela conter
uma das figuras citadas no texto é igual a

.

18.2. Sabendo que há 4 ases em um baralho

comum, sendo um de cada naipe, conclui-
se que a probabilidade de se extrair uma
carta e ela não ser um ás de ouros é igual a

.


18.3 A probabilidade de se extrair uma carta e

ela conter uma figura ou ser uma carta de paus

é igual a .

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