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TitleAnalisis Matricial de Estructuras
TagsSoftware Equations Elasticity (Physics) Matrix (Mathematics)
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Análisis Matricial

El análisis matricial es una técnica de resolución de problemas complejos de

cualquier área de la matemática aplicada, cuyas raíces nos dirigen directamente a

la algebra lineal. En general, es la herramienta principal para poder reducir y

reformular problemas por medio de matrices, ya que en la vida laboral y científica

resulta menos complejo y más rápido resolver problemas extensos con esta

técnica que el mismo problema desde su origen por cualquier otro método. El

objetivo principal es como resolver un problema X en matrices. Para ello es

necesario conocer a fondo la teoría de matrices y operaciones con ellas que den

lugar a la solución del problema X. Eso en pocas palabras es el análisis matricial.

A lo largo de la historia del Análisis Estructural se han aceptado teorías muy

válidas, exactas y otras aproximadas para cálculos sobre las estructuras. Estos

cálculos pueden ser sobre líneas de influencia, cargas, deflexiones, ángulos de

giro o rotación, deformaciones, áreas de los elementos necesarias para el diseño,

etc. Todos basados en la estática y resistencia de materiales; con un último

invitado (y el más importante): Algebra lineal.

Básicamente los métodos matriciales consisten en llevar la estructura continua

real a un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas

propiedades pueden expresarse en forma matricial.

Algunos de estos métodos son denominados clásicos y en su momento fueron

trascendentales, pero hoy en día solo se les hace referencia de manera

académica, más no laboral. Se basaban en teorías de deformaciones elásticas y

arrojaban resultados exactos sobre una estructura, pero con una gran desventaja

que va en contra de cualquier ingeniero: el tiempo de realización. Luego, alrededor

de 1920 comenzaron a utilizarse métodos aproximados con hipótesis simplificadas

sobre las estructuras, que aunque sean aproximados generaban y generan, aun,

muchas ventajas en cuanto a cálculos (análisis y diseño), tiempo y desarrollo de

un proyecto. Algunas ventajas de los métodos aproximados son:

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Si bien el teorema de la flexibilidad no es tan usado, no está demás conocer

aparte de sus ecuaciones ya señaladas anteriormente, su trasfondo. Este método

permite resolver estáticamente una estructura hiperestática. Conózcase como

hiperestática o indeterminada aquella estructura que está en equilibrio pero las

ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas

internas o las reacciones.

Estructura estáticamente indeterminada (Hiperestática).

En el método de las flexibilidades las estructuras a analizar son habitualmente

hiperestáticas y puede adoptarse para ellas la hipótesis de comportamiento

elástico y lineal. Para determinar el valor de las reacciones en los apoyos y de los

esfuerzos en los extremos de las barras, es decir, para resolverlas estáticamente,

debe utilizarse un método adecuado, como este.

El grado de indeterminación de la estructura determinará el número de fuerzas

redundantes y el número de ecuaciones extras necesarias para resolver la

estructura. La estructura hiperestática se descompondrá en la suma de una

estructura isostática básica (obtenida a partir de la original en la que se ha

suprimido la o las fuerzas redundantes) cargada como la anterior y tantos estados

unidad de carga multiplicados por la redundante asociada como sea el grado de

indeterminación.

Para devolver las condiciones cinemáticas a la estructura original se plantean

condiciones de compatibilidad en cada uno de los puntos de aplicación de las

fuerzas redundantes y en su dirección. Las incógnitas del sistema de ecuaciones

de compatibilidad son las fuerzas redundantes (incógnitas estáticas principales). A

partir de ellas se obtiene, directamente por equilibrio o bien mediante el principio

de superposición, el resto de incógnitas estáticas, quedando resuelta la estructura.

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Cada estructura puede utilizar un sistema de coordenadas diferentes para

describir la localización de los puntos y para definir las direcciones de las cargas

aplicadas, la comprensión de estos sistemas de coordenadas es fundamental para

poder definir apropiadamente el modelo e interpretar los resultados.

Utilizamos el sistema de coordenadas globales (X, Y) para definir nuestros ejes en

una visión general de la estructura y el sistema local de coordenadas (X´y Y´) para

analizar de una manera individual cada elemento de nuestra estructura. En la

siguiente figura se muestra un ejemplo de coordenadas globales (a) y

coordenadas locales (b).

Coordenadas globales y coordenadas locales

A continuación mostraremos 2 ejemplos del método de la rigidez en armaduras:

En ambos, y casi en la mayoría de los casos, es necesario trabajar en un solos

sistema de coordenadas. Entonces toca pasar de un sistema a otro mediante los

conocidos en algebra lineal como cosenos directores.

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Aunque todos los software de Analisis Estructural difieren unos con otros, casi
siempre en sus interfaces, se asemejan en que los errores cometidos por el
diseñador usualmente son los mismos. Por eso se puede decir que detectar y
verificar los errores en ellos no es una tarea tediosa. Algunas formas de revisar
dichos errores son:

 De entrada, yendo un poco a la teoría, las matrices de rigidez deben ser
simétricas. Si no es así, el software generara resultados erróneos.

 Como en cada caso (nudo) la estructura debe estar en equilibrio, es de
esperar que la suma de los términos de cada columna de la matriz de
rigidez K sea igual a cero. Condición útil para verificar la matriz de rigidez.

 Verificar que al introducir datos de entrada, estos mantengan en su totalidad
un mismo sistema de unidades.

 Ubicar correctamente un sistema de coordenadas globales y locales. Se
recomienda para todos los software ubicar el origen del sistema de
coordenadas globales en un nodo de tal manera los otros tengan
coordenadas positivas.

En conclusión, la feliz coincidencia de que las ramas de la matemática aplicada
y la tecnología iban paralelas y luego se cruzaron, permitió un grandísimo
avance en el Analisis Estructural. Por más complejo que parezca, la mayoría
de actividades antropológicas nos conducen a la realización de estructuras,
bien sean sencillas o complicadas. Para llegar a la realización de estas
estructuras es necesario hacer evaluaciones preliminares para ver la viabilidad
de tal proyecto (estimar costos a partir de materiales y dimensiones). Los
métodos clásicos permiten calcular dichas estructuras en un periodo muy
extenso de tiempo, y de una manera más tediosa, convirtiéndose en enemigos
del ingeniero y de la economía de un país. La llegada de los software marco
una gran diferencia en tiempos de entrega de análisis y diseños estructurales,
llegando a ser grandes aliados del ingeniero diseñador. Dejando de lado la
parte matemática aplicada podemos afirmar que el análisis matricial estructural
conlleva directamente a un mejoramiento de la economía local ( del diseñador)
y global (mercado, competencia) al reducir el enemigo principal de todo
ingeniero: el tiempo.

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Bibliografía

1. http://www.mate.unlp.edu.ar/~demetrio/Apuntes/Analisis_matricial_I.pdf
2. http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/matricial.pdf
3. http://es.slideshare.net/damian4z2/sistema-de-coordenadas-15687429
4. http://estructurando.net/2015/02/09/metodo-matricial-para-estructuras-

con-excel/
5. http://www.bdigital.unal.edu.co/9863/1/jorgeeduardohurtadogomez.2013.

pdf
6. http://www.calculadoras.cl/foro/forum/calculadoras/familia-ti89-titanium-

voyage-200/zona-de-descarga/aplicaciones-para-ingenier%EDa/ingenier

%EDa-mec%E1nica/381-estructuras-anesmef-1-1-y-cross-1-1?

t=330&highlight=rigidez
7. https://onedrive.live.com/?authkey=

%21&cid=542E34B9F9C781DA&id=542E34B9F9C781DA

%21129&parId=542E34B9F9C781DA%21113&o=OneUp
8. Análisis de Estructuras, 2da edición – Jairo Uribe Escamilla.
9. Análisis Estructural, 8va edición – R. C. Hibbeler.

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