Download Analise Matematica 1 PDF

Page 117

3.7 Exerćıcios Propostos 113

3.7.2 Fórmula de Taylor

1. Desenvolva os polinómios P1(x) = x
4 e P2(x) = x

3 − 2x2 + 3x + 5 em potências inteiras de (x − 3)
e (x − 2), respectivamente.

2. Escreva a fórmula de Taylor de ordem n no ponto a dado, das seguintes funções:

(a) f(x) =
1

x2 + 3
, a = 1, n = 3;

(b) f(x) = ex
2

, a = 0, n = 4;

(c) f(x) = sen2(x), a = 0, n = 4;

(d) f(x) = tg(x), a = 0, n = 4;

(e) f(x) =
1

x
, a = 1, n = 4.

3. Utilize a fórmula de Taylor para aproximar a função f(x) = cos(x) por um polinómio de grau 4.
Use esse polinómio para calcular uma aproximação de cos(0.5). Obtenha uma estimativa para o
erro da aproximação.

4. Use a fórmula de Taylor para estabelecer as seguintes desigualdades:

(a) log(1 + x) ≥ x − x
2

2
+

x3

3
− x

4

4
, x > 0;

(b) sen(a + h) − sen(a) − h cos(a) ≤ 1
2
h2, ∀h ∈ R;

(c)
1

(1 − x)2 ≤ 1 + 2x + 3x
2 + 4

x3

(1 − x)5 , x < 0.

5. Escreva a fórmula de Mac-Laurin de ordem n de cada uma das seguintes funções:

(a) f(x) =
1 − x
ex

;

(b) f(x) =
1

1 + x
;

(c) f(x) = sen(x);

(d) f(x) = cos(x);

(e) f(x) =
1√

1 + x
.

6. Observe que as funções f(x) = sen(x) e g(x) = kx, com k pequeno, se intersectam nas proximidades
de x = π. Aplicando a fórmula de Taylor de ordem 3 no ponto π à função g(x) = sen(x) − kx,
determine uma solução aproximada de sen(x) = kx.

7. Utilize a fórmula de Taylor para calcular os seguintes limites:

(a) lim
x→0

sen(x) − x
x2

;

(b) lim
x→π

ex−π + cos(x) − (x − π)
(x − π)2 ;

(c) lim
x→0

1 − cos(x)
x2

;

(d) lim
x→1

log(x) − x + 1
(x − 1)2 .

8. Seja g(x) = αe−kx + ax, com a < 0, α < 0, k > 0, constantes. Determine os extremos relativos da
função g.