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                            Álgebra superior
Acerca de los autores
Prefacio
Contenido
Capítulo 1: Operaciones fundamentales con los números
Capítulo 2: Operaciones fundamentales con expresiones algebraicas
Capítulo 3: Propiedades de los números
Capítulo 4: Productos especiales
Capítulo 5: Factorización
Capítulo 6: Fracciones
Capítulo 7: Exponentes
Capítulo 8: Radicales
Capítulo 9: Operaciones con números complejos
Capítulo 10: Ecuaciones en general
Capítulo 11: Razón, proporción y proporcionalidad
Capítulo 12: Funciones y gráficas
Capítulo 13: Ecuaciones lineales con una incógnita
Capítulo 14: Ecuaciones de rectas
Capítulo 15: Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas
Capítulo 16: Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Capítulo 17: Secciones cónicas
Capítulo 18: Sistemas de ecuaciones de segundo grado
Capítulo 19: Desigualdades
Capítulo 20: Funciones polinomiales
Capítulo 21: Funciones racionales
Capítulo 22: Progresiones y series
Capítulo 23: Logaritmos
Capítulo 24: Aplicaciones de los logaritmos y exponentes
Capítulo 25: Permutaciones y combinaciones
Capítulo 26: Teorema del binomio de newton
Capítulo 27: Probabilidad
Capítulo 28: Determinantes
Capítulo 29: Matrices
Capítulo 30: Inducción matemática
Capítulo 31: Fracciones parciales
Apéndice " A " Tabla de logaritmos comunes
Apéndice " B " Tabla de logaritmos naturales
Índice
                        
Document Text Contents
Page 203

185-2


PROBLEMAS RESUELTOS 185

La forma estándar de la elipse es,

(x h)2

a2


(y k)2

b2
� 1 o

(y k)2

a2


(x h)2

b2
� 1.

Los vértices son (h � a, k) y (h – a, k), por lo que (h � a, k) � (1 � a, �1) � (5, �1). Por lo tanto, 1 �
a � 5 y a � 4.

Para la elipse, a2 � b2 � c2, c tiene el valor de 3, y se puede deducir que el valor de a es 4. Por ende,
a2 � 42 � 16 y c2 � 32 � 9. Por lo tanto, de a2 � b2 � c2, se obtiene 16 � b2 � 9 y b2 � 7.

Puesto que los vértices se encuentran sobre una línea paralela al eje x, la forma estándar es

(x h)2

a2


(y k)2

b2
� 1.

La ecuación de la elipse es

(x 1)2

16


(y � 1)2

7
� 1.

17.10 Escriba la ecuación en su forma estándar para cada una de las hipérbolas siguientes y determine el centro, los vér-
tices y los focos.

a) 16x2 � 9y2 � 144 �0 b) 9x2 � 16y2 � 90x � 64y � 17 � 0

SOLUCIÓN

a) 16x2 � 9y2 � 144 � 0
16x2 � 9y2 � �144



x2

9
y2

16
� 1


y2

16
x2

9
� 1 forma estándar

centro (h, k) � (0, 0) a2 � 16 y b2 � 9, por lo tanto a � 4 y b � 3
Puesto que c2 � a2 � b2 para una hipérbola, c2 � 16 � 9 � 25 y c � 5.
Los focos son (0, c) y (0, c), por lo que F(0, 5) y F�(0, �5).
Los vértices son (0, a) y (0, �a), por lo que V(0, 4) y V�(0, �4)

b) 9x2 � 16y2 � 90x � 64y � 17 � 0
9(x2 � 10x � 25) � 16(y2 � 4y � 4) � �17 � 225 � 64
9(x � 5)2 � 16(y � 2)2 � 144


(x � 5)2

16
(y 2)2

9
� 1 forma estándar

centro (h, k) � (�5, 2) a2 � 16 y b2 � 9, por lo que a � 4 y b � 3
Puesto que c2 � a2 � b2, c2 � 16 � 9 � 25 y c � 5:
Los focos son (h � c, k) y (h � c, k), por lo que F(0, 2) y F�(�10, 2):
Los vértices son (h � a, k) y (h � a, k), por lo que V(�1, 2) y V�(�9, 2).

17.11 Escriba la ecuación de la hipérbola con las características que se indican.

a) los vértices son (0, �2) y los focos son (0, �3)
b) los focos están en (1, 2) y (�11, 2) y el eje transverso tiene una longitud de 4.

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186-2


186 CAPÍTULO 17 SECCIONES CÓNICAS

SOLUCIÓN

a) Puesto que los vértices son (0, �2), el centro se encuentra en (0, 0), y puesto que se encuentran sobre una línea
vertical, la forma estándar es

y2

a2
x2

b2
� 1

Los vértices se encuentran en (0, �a) por lo que a � 2 y los focos están en (0, �3), por lo que c � 3.
Puesto que c2 � a2 � b2, 9 � 4 � b2, por lo que b2 � 5.
La ecuación de la hipérbola es,

y2

4
x2

5
� 1

b) Puesto que los focos están en (1, 2) y (�11, 2), se encuentran sobre una línea paralela al eje x, por lo que su
forma es,

(x h)2

a2
(y k)2

b2
� 1

El punto medio del segmento de línea entre los focos (1, 2) y (�11, 2) es el centro, por lo que C(h, k) �
(�5, 2). Los focos están en (h � c, k) y (h – c, k), por lo que (h � c, k) � (1, 2) y �5 � c � 1, donde c �
6. El eje transversal tiene una longitud de 4 por lo que 2a � 4 y a � 2. A partir de c2 � a2 � b2, se obtiene
36 � 4 � b2 y b2 � 32.

La ecuación de la hipérbola es

(x � 5)2

4
(y 2)2

32
� 1

Problemas propuestos

17.12 Grafi que cada una de las ecuaciones siguientes:

a) x2 � y2 �9 e) y2 � 4x i) x2 � y2 � 2x � 2y � 2 � 0
b) xy � �4 f) x2 � 3y2 � 1 �0 j) 2x2 � xy � y2 � 7x � 2y � 3 � 0
c) 4x2 � y2 � 16 g) x2 � 3xy � y2 � 16
d) x2 � 4y2 � 36 h) x2 � 4y � 4

17.13 Escriba la ecuación del círculo que tenga las características siguientes:

a) centro (4, 1) y radio 3 c) pasa por (0, 0), (�4, 0) y (0, 6)
b) centro (5, �3) y radio 6 d) pasa por (2, 3), (�1, 7) y (1, 5)

17.14 Escriba la ecuación del círculo en su forma estándar y establezca su centro y su radio.

a) x2 � y2 � 6x � 12y � 20 �0 c) x2 � y2 � 7x � 3y � 10 � 0
b) x2 � y2 � 12x � 4y � 5 �0 d) 2x2 � 2y2 � 5x � 9y � 11 � 0

17.15 Escriba la ecuación de la parábola que tiene las características siguientes:

a) vértice (3,�2) y directriz x � � 5
b) vértice (3, 5) y foco (3, 10)
c) pasa por (5, 10), el vértice está en el origen y su eje está sobre el eje x.
d) vértice en (5, 4) y foco en (2, 4)

17.16 Escriba la ecuación de la parábola en su forma estándar y determine su vértice, foco, directriz y eje.

a) y2 � 4x � 8y � 28 �0 c) y2 � 24x � 6y � 15 � 0
b) x2 � 4x � 8y � 36 �0 d) 5x2 � 20x � 9y � 47 � 0

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ÍNDICE 387

Programación lineal, 203
Progresión, 245
aritmética, 245
armónica, 246
enésima o término general de una, 245
geométrica, 245-246
in� nita, 246
Progresión aritmética, 248
Progresión armónica, 246
Progresión geométrica, 245-246
in� nita, 246
Progresión geométrica in� nita o serie, 246
Propiedad de cerradura, 22
Propiedad de densidad, 23
Propiedad de la completez, 23
Propiedad del orden, 23
Propiedad inversa, 22
Propiedades asociativas, 3
Propiedades conmutativas, 3
Proporción, 81
Proporcional, 81
cuarta, 81
media, 81
tercera, 81
Proporcionalidad, constante de, 82
Punto, coordenadas de un, 91
Punto máximo, relativo, 101
aplicaciones, 103-106
Punto mínimo, relativo, 101
aplicaciones, 103-106
Racionalización del denominador, 60
Radicales, 58
cambiando la forma de, 58-59
ecuaciones que involucran, 152-153
forma más simple de, 59
índice u orden de, 58
multiplicación y división de, 60-61
racionalización del denominador de, 60-61
reducción del índice de, 59
remoción de las potencias perfectas enésimas,

59
similares, 59
suma algebraica de, 59
Radicando, 58
Raíces, 48, 73, 210
de ecuaciones cuadráticas, 150
de una ecuación, 73
dobles, 151, 216
enésima principal, 58
enésimas, 58
enteras, 216
extrañas, 74
irracionales, 152

naturaleza de, de una ecuación cuadrática, 152
número de, 216
racional, 216
Raíces extrañas, soluciones, 74
Raíces irracionales, 152
aproximación, 218
Raíz doble, 151, 216
Raíz principal, 48
Rango de una función, 89
Razón, 81
común, 245
Recíproco, 4
Rectas, 128
forma de intersección, 131
forma de los dos puntos, 130
pendiente-forma de intersección, 130
pendiente-forma puntual, 130
rectas horizontales, 128
rectas paralelas, 129
rectas perpendiculares, 129
rectas verticales, 129
Regla de Cramer, 323-326
Reglas de los signos de Descartes, 217-218
de una fracción, 4
regla de Descartes, 217
reglas de los, 3
Relación, 89
Repetición de decimales, 255
Residuo, 15, 214
Resta, 1, 4, 14
de expresiones algebraicas, 12
de fracciones, 4, 42
de números complejos, 68
de radicales, 59

Secciones cónicas, 169-180
absolutas, 199
círculo, 170
elipse, 172
hipérbola, 177
parábola, 171
Sentido de una desigualdad, 199
Serie geométrica, in� nita, 246
Series, 245
geométricas in� nitas, 246
Signos, 3
Símbolos de agrupación, 13
Simetría, 91
Sistema de coordenadas, rectangular, 90
Sistema numérico, real, 2
Sistemas de desigualdades, 199
Sistemas de ecuaciones, 137, 191
Sistemas de m ecuaciones con n incógnitas, 329

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388 ÍNDICE

Solución grá� ca de ecuaciones, 138, 191
Soluciones, 73
de sistemas de ecuaciones, 323, 329
extrañas, 74
grá� cas, 138, 191
triviales, no triviales, 329
Soluciones triviales, 329
Sucesión(es). Véase Progresiones
Suma, 1
de dos cubos, 33
de expresiones algebraicas, 12
de fracciones, 4
de números complejos, 68
de radicales, 59
de raíces de una ecuación cuadrática, 150
de una progresión aritmética, 245
de una progresión geométrica, 245-246
de una progresión geométrica in� nita, 246
propiedad asociativa de la, 3
propiedad conmutativa de la, 3
reglas de los signos de la, 3
Sustraendo, 14

Tablas, 375, 378
de logaritmos comunes, 375
de logaritmos naturales, 378
Teorema de las raíces enteras, 216

Teorema del factor, 215
Teorema del residuo, 214
Teorema del valor intermedio, 216
Teorema fundamental del álgebra, 215
Término, 12
de progresión, 245
de serie, 245
entero y racional, 13
grado de, 13
parecidos o similares, 13
Término general o enésimo, 245
Términos semejantes, 13
Triángulo de Pascal, 305
Trinomio, 12
cuadrado de un, 27
factores de un, 33
Trinomio cuadrado perfecto, 33

Unidad imaginaria, 2, 67

Valor absoluto, 2
Variable, 89
dependiente, 90
independiente, 89
Variable dependiente, 91
Variable independiente, 89
Variación, 81-82

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